Lý thuyết và bài tập cộng trừ nhân chia số hữu tỉ toán lớp 7

Cộng và trừ hai số hữu tỉ

Quy tắc cộng và trừ hai số hữu tỉ

- Mọi số hữu tỉ đều có thể viết dưới dạng phân số. Vì vậy, để cộng hoặc trừ hai số hữu tỉ, ta có thể viết chúng dưới dạng phân số rồi thực hiện phép cộng, trừ phân số.

$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a d \pm c b}{b d}$

- Nếu hai số hữu tỉ được viết dưới dạng số thập phân (có hữu hạn chữ số ở phần thập phân) thì ta thực hiện phép cộng, trừ như đối với số thập phân.

Ví dụ:

$\text{a) } \frac{1}{4} + \frac{5}{8}$

b) 2,6 - 1,35

Hướng giải:

a) Quy đồng mẫu số: $\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$

Sau đó: $\frac{2}{8} + \frac{5}{8} = \frac{7}{8}$

b) $2,6 - 1,35 = 1,25$

Tính chất của phép cộng các số hữu tỉ

Phép cộng các số hữu tỉ có các tính chất giống phép cộng các số nguyên.

- Tính chất giao hoán: a + b = b + a

- Tính chất kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c)

- Cộng với số 0: a + 0 = a

- Cộng với số đối: a + (−a) = 0

Nhờ các tính chất trên, trong biểu thức chỉ có phép cộng và phép trừ, ta có thể thay đổi vị trí hoặc nhóm các số hạng để tính thuận tiện hơn.

$(-0,2) + \frac{3}{4} + (-0,8) = (-0,2) + (-0,8) + \frac{3}{4} = -1 + \frac{3}{4} = -\frac{1}{4}$

Quy tắc chuyển vế

Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó.

x + a = b ↔ x = b - a

x - a = b ↔ x = b + a

Ví dụ: $x+\frac{3}{5}=\frac{}{8}$

Hướng giài: $x=\frac{7}{8}-\frac{3}{5}=\frac{35}{40}-\frac{24}{40}=\frac{11}{40}$

Nhân và chia hai số hữu tỉ

Quy tắc nhân và chia hai số hữu tỉ

Mọi số hữu tỉ đều có thể viết dưới dạng phân số, nên khi nhân hoặc chia hai số hữu tỉ, ta có thể đổi chúng về dạng phân số rồi áp dụng quy tắc nhân, chia phân số.

Nếu hai số hữu tỉ được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn, ta có thể thực hiện phép nhân hoặc phép chia theo đúng quy tắc nhân, chia số thập phân.

$- \text{Ví dụ: } (-0,2) + \frac{3}{4} + (-0,8)$

$= (-0,2) + (-0,8) + \frac{3}{4}$

$= -1 + \frac{3}{4} = -\frac{1}{4}$

Ví dụ: $2 \frac{3}{8}:(-0,4)$

Hướng giải

$$
\begin{aligned}
& 2 \frac{3}{8}=\frac{19}{8} \\
& (-0,4)=-\frac{2}{5} \\
& 2 \frac{3}{8}:(-0,4)=\frac{19}{8}:\left(-\frac{2}{5}\right)=\frac{19}{8} \times\left(-\frac{5}{2}\right)=-\frac{95}{16}
\end{aligned}
$$

Tính chất của phép nhân các số hữu tỉ

Phép nhân các số hữu tỉ có các tính chất giống phép nhân số nguyên.

- Tính chất giao hoán: a × b = b × a

- Tính chất kết hợp: (a × b) × c = a × (b × c)

- Nhân với số 1: a × 1 = 1 × a = a

- Tính chất phân phối đối với phép cộng, phép trừ: 

a(b + c) = ab + ac 

a(b - c) = ab - ac

Ví dụ: $\frac{7}{3} \times(-2,5) \times \frac{6}{7}$

Hướng giải

$\frac{7}{3} \times(-2,5) \times \frac{6}{7}=\frac{7}{3} \times \frac{6}{7} \times(-2,5)=2 \times(-2,5)=5$

Nhận xét:

- Số nghịch đảo của số hữu tỉ $a \ (a \neq 0)$ là số $\frac{1}{a}$.

- Hai số nghịch đảo của nhau có tích bằng 1: $a \cdot \frac{1}{a} = 1$.

- Nếu $a, b$ là hai số hữu tỉ và $b \neq 0$ thì: $a : b = a \cdot \frac{1}{b}$.

Các dạng bài tập cộng trừ nhân chia số hữu tỉ

Dưới đây là một số dạng bài tập cộng trừ nhân chia số hữu tỉ thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, giúp học sinh nhận biết từng dạng và có hướng giải cụ thể.

Dạng 1: Thực hiện phép tính

Phương pháp giải:

- Quy đồng mẫu hai phân số, cộng (hoặc trừ) các tử số, giữ nguyên mẫu số và rút gọn kết quả (nếu có).

- Để nhân chia hai số hữu tỉ ta viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số áp dụng quy tắc nhân, chia phân số 

- Vận dụng tính chất giao hoán, kết hợp, quy tắc dấu ngoặc để tính nhanh.

Ví dụ: Tính

a) $\frac{5}{12} + \frac{7}{18}$

b) $\frac{7}{10} - \left(-\frac{3}{5}\right)$

c) $-\frac{3}{7} \cdot \frac{14}{15}$

d) $-\frac{4}{9} : \frac{8}{15}$

Hướng giải:

a) $\frac{5}{12} + \frac{7}{18} = \frac{15}{36} + \frac{14}{36} = \frac{29}{36}$

b) $\frac{7}{10} - \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{7}{10} + \frac{3}{5} = \frac{7}{10} + \frac{6}{10} = \frac{13}{10}$

c) $-\frac{3}{7} \cdot \frac{14}{15} = -\frac{3 \times 14}{7 \times 15} = -\frac{2}{5}$

d) $-\frac{4}{9} : \frac{8}{15} = -\frac{4}{9} \cdot \frac{15}{8} = -\frac{5}{6}$

Dạng 2: Tìm x

Phương pháp giải: Thực hiện phá ngoặc theo thứ tự thực hiện phép tính để đưa đẳng thức về các dạng:

a + x = b → x = b - a

a - x = b → x = a - b

x - a = b → x = a + b

$\mathrm{ax}=\mathrm{b} \rightarrow \mathrm{x}=\frac{b}{a}$

$\mathrm{a}: \mathrm{x}=\mathrm{b} \rightarrow \mathrm{x}=\frac{a}{b}$

$x: a=b \rightarrow x=a b$

Nếu $\mathrm{f}(\mathrm{x}) . \mathrm{g}(\mathrm{x})=0 \rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})=0$ hoặc $\mathrm{g}(\mathrm{x})=0$

Ví dụ: Tìm x:
**Đề bài:**

a) $x + \frac{5}{12} = \frac{7}{18}$

b) $x - \frac{2}{15} = \frac{1}{3}$

c) $x \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{9}{10}$

d) $x : \frac{4}{7} = -\frac{5}{6}$

Hướng giải:

a) $x + \frac{5}{12} = \frac{7}{18} \rightarrow x = \frac{7}{18} - \frac{5}{12} = \frac{14}{36} - \frac{15}{36} = -\frac{1}{36}$

b) $x - \frac{2}{15} = \frac{1}{3} \rightarrow x = \frac{1}{3} + \frac{2}{15} = \frac{5}{15} + \frac{2}{15} = \frac{7}{15}$

c) $x \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{9}{10} \rightarrow x = \frac{9}{10} : \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{9}{10} \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = -\frac{3}{2}$

d) $x : \frac{4}{7} = -\frac{5}{6} \rightarrow x = -\frac{5}{6} \cdot \frac{4}{7} = -\frac{10}{21}$

Dạng 3: Bài toán thực tế

Phương pháp giải: Phân tích bài toán, từ các dữ kiện đề bài xác định các giá trị của cùng một đại lượng và thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán. Dựa vào quy tắc cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, thực hiện các phép toán tương ứng.

Ví dụ: Một cửa hàng có $\frac{3}{4}$ tấn gạo. Buổi sáng cửa hàng bán được $\frac{2}{5}$ số gạo đang có. Buổi chiều cửa hàng nhập thêm $\frac{1}{6}$ tấn gạo. Cuối ngày, số gạo còn lại được chia đều vào 4 kho. Hỏi mỗi kho nhận được bao nhiêu tấn gạo?

Hướng giải

Số gạo bán buổi sáng là: $\frac{3}{4} \times \frac{2}{5}=\frac{3}{10}$ (tấn)

Số gạo còn lại sau buổi sáng là: $\frac{3}{4}-\frac{3}{10}=\frac{15}{20}-\frac{6}{20}=\frac{9}{20}$ (tấn)

Sau khi nhập thêm, số gạo có là: $\frac{9}{20}+\frac{1}{6}=\frac{27}{60}+\frac{10}{60}=\frac{37}{60}$ (tấn)

Mỗi kho nhận được: $\frac{37}{60}: 4=\frac{37}{60} \times \frac{1}{4}=\frac{37}{240}$ (tấn)

Ôn tập cộng trừ nhân chia số hữu tỉ lớp 7

Để củng cố kiến thức, dưới đây là hệ thống bài tập về cộng trừ nhân chia số hữu tỉ lớp 7 được sắp xếp từ cơ bản đến nâng cao, phù hợp cho học sinh tự ôn tập tại nhà.

Bài 1: Tính:

a) $-\frac{7}{8} - \frac{5}{8}$

b) $\frac{7}{12} - \frac{5}{18} + \frac{1}{9}$

c) $\left(\frac{3}{4} - \frac{5}{6}\right) : \left(-\frac{2}{9}\right)$

Bài 2: Tìm x:

a) $x + \frac{5}{6} = -\frac{7}{12}$

b) $\left(x - \frac{1}{3}\right) \cdot \frac{9}{5} = -\frac{6}{5}$

c) $\left(\frac{3}{4}x - \frac{5}{6}\right) : \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{5}{8}$

Bài 3: Tính: $\left(\frac{2}{3}-\frac{5}{6}\right) \times\left(\frac{9}{4}+\frac{3}{8}\right):\left(-\frac{5}{2}\right)$
Bài 4: Tính: $\frac{\left(\frac{3}{4}+\frac{5}{6}\right) x\left(\frac{7}{5}-\frac{2}{5}\right)}{\left(-\frac{3}{9}\right): \frac{4}{3}}$

Bài 5: Một bể nước ban đầu chứa $\frac{7}{10}$ thể tích bể. Buổi sáng lấy ra $\frac{3}{20}$ thể tích bể. Buổi chiều bơm thêm $\frac{1}{4}$ thể tích bể. Tối lấy tiếp $\frac{1}{5}$ thể tích bể. Hỏi cuối ngày bể còn bao nhiêu phần thể tích?

Bài 6: Cho $A = \left[\left(\frac{5}{6} - \frac{3}{4} + \frac{2}{3}\right) \times \left(-\frac{12}{11}\right) + \frac{7}{8}\right] : \left[\frac{3}{5} - \left(-\frac{2}{5}\right)\right] - \frac{11}{16}$

a) Tính giá trị của $A$

b) Nếu $B = A \times \left(-\frac{8}{5}\right)$, hãy tính $B$.

Bài 7: Tìm $\mathrm{x}: \frac{x-3}{13}+\frac{x-3}{14}=\frac{x-3}{15}+\frac{x-3}{16}$

Bài 8: Tìm x, biết: $\frac{1}{14}+\frac{1}{35}+\frac{1}{65}+\ldots+\frac{2}{x^2+3 x}=\frac{1}{9}$

Bài 9: Tính nhanh: $\frac{1}{2}+\frac{5}{6}+\frac{11}{12}+\frac{19}{20}+\frac{29}{30}+\frac{41}{42}+\frac{55}{56}+\frac{71}{72}+\frac{89}{90}$

Bài 10: Hai người cùng làm chung một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất phải mất 4 giờ, người thứ hai phải mất 7 giờ mới xong công việc. Hỏi nếu làm chung thì mỗi giờ cả hai người làm được mấy phần công việc?

Hy vọng qua bài viết trên, con đã hiểu rõ cách cộng trừ nhân chia số hữu tỉ cũng như biết cách áp dụng các quy tắc vào từng dạng bài tập. Bên cạnh việc tự học, việc đồng hành cùng giảng viên sẽ giúp con hiểu sâu bản chất, tránh sai sót và tiến bộ nhanh hơn. Tham khảo ngay khóa học Toán lớp 7 của Học là Giỏi để học đúng phương pháp và đạt kết quả tốt trong học tập.