Căn bậc hai số học: Lý thuyết và Bài tập thực hành

Căn bậc hai số học là gì?

Căn bậc hai số học của một số $a$ (với $a \geq 0)$ là số không âm mà bình phương của nó bằng a.

Ký hiệu: $\sqrt{a}$ là căn bậc hai số học của a .

Chú ý: Căn bậc hai số học của 0 bằng 0.

Với $\mathrm{a} \geq 0$, ta có $\mathrm{x}=\sqrt{a}$ thì $\left\{\begin{array}{c}x \geq 0 \\ x^2=a\end{array}\right.$

Ví dụ: Căn bậc hai số học của 9 là 3 vì $3^2=9$.

Phân biệt căn bậc hai và căn bậc hai số học

Để tránh nhầm lẫn khi làm bài, học sinh cần nắm rõ điểm giống và khác nhau giữa căn bậc hai và căn bậc hai số học như sau:

Giống nhau:

- Cả căn bậc hai và căn bậc hai số học đều được xác định với số không âm.

-  Căn bậc hai và căn bậc hai số học của 0 đều bằng 0.

Khác nhau:

- Căn bậc hai của a > 0 gồm hai giá trị đối nhau: \pm \sqrt{a} .

VD: Căn bậc hai số học của 25 là 5 và - 5.

- Căn bậc hai số học của a ≥ 0 là giá trị không âm duy nhất.

VD: Căn bậc hai số học của 25 là 5.

Các tính chất của căn bậc hai số học

Để làm tốt các bài toán về căn bậc hai số học, trước hết học sinh cần nắm được những tính chất cơ bản của căn. Đây là cơ sở để con thực hiện các phép biến đổi, rút gọn biểu thức và tìm kết quả một cách chính xác.

Tính chất 1: $\sqrt{\left(a^2\right)}=|\mathbf{a}|$ với mọi số thực a

Giải thích: Khi bình phương một số, dù số đó âm hay dương thì kết quả đều không âm. Vì căn bậc hai số học chỉ lấy giá trị không âm nên $\sqrt{a^2}$ bằng giá trị tuyệt đối của a.

$\sqrt{\left(a^2\right)}=|\mathrm{a}|$

Ví dụ: $\sqrt{\left(-6^2\right)}=\sqrt{36}=6$

Tính chất 2: $\sqrt{a x b}=\sqrt{a} \mathbf{x} \sqrt{b}$ với $\mathbf{a}, \mathbf{b} \geq \mathbf{0}$.

Giải thích: Với hai số thực không âm $\mathrm{a}, \mathrm{b}$, căn bậc hai số học của tích ab bằng tích các căn bậc hai số học của a và b . Tính chất này cho phép phân tích biểu thức dưới dấu căn thành các thừa số thuận lợi để rút gọn.

Ví dụ: $\sqrt{72}=\sqrt{8.9}=\sqrt{8} . \sqrt{9}=2 \sqrt{2} .3=6 \sqrt{2}$

Tính chất 3: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ với $\mathbf{a}>0, \mathbf{b}>0$.

Giải thích: Với a không âm và b dương, căn bậc hai số học của một thương bằng thương của căn bậc hai số học của tử và mẫu. Tính chất này thường được sử dụng để biến đổi và rút gọn các biểu thức chứa căn.

Ví dụ: $\sqrt{\frac{81}{100}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{100}}=\frac{9}{10}$.

Tính chất 4: Nếu $\mathbf{a}>\mathbf{b}>\mathbf{0}$ thì $\sqrt{a}>\sqrt{b}$

Giải thích: Hàm căn bậc hai là hàm đồng biến, nghĩa là số lớn hơn sẽ có căn lớn hơn. Đây là cơ sở cho các bài toán so sánh giá trị căn bậc hai.

Ví dụ: $36>16$ nên $\sqrt{36}>\sqrt{16}$

Các phương pháp tính căn bậc hai số học

Để tính căn bậc hai số học của một số, học sinh có thể áp dụng các phương pháp phù hợp dựa vào đặc điểm của số cần tính.

Dựa vào bình phương của số

Nếu tìm được số $\mathrm{a} \geq 0$ sao cho $a^2=\mathrm{b}$, thì $\sqrt{b}=\mathrm{a}$

Ví dụ: Căn bậc hai số học của 16 là 4 . Vì $4^2=16$.

Phân tích số dưới dấu căn

Với những số lớn hơn, ta có thể phân tích số dưới dấu căn thành các thừa số, sau đó đưa các thừa số là số chính phương ra ngoài dấu căn.

$\text{Ví dụ: } \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Bài tập thực hành tính căn bậc hai số học

Dưới đây là một số bài tập giúp các con làm quen và nhận biết các dạng câu hỏi, dạng đề thường gặp về căn bậc hai số học.

A. Phần trắc nghiệm

Câu 1. Căn bậc hai số học của 25 là:

A. 5

B. - 5

C. ± 5

D. 10

Câu 2. Số nào sau đây là căn bậc hai số học của 81?

A. - 9

B. 9

C. ± 9

D. 18

Câu 3. Giá trị của $\sqrt{0}$ bằng:

A. - 1

B. 0

C. 1

D. Không xác định

Câu 4. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\sqrt{36} = -6$

B. $\sqrt{36} = \pm 6$

C. $\sqrt{36} = 6$

D. $\sqrt{36} = 18$

Câu 5. Số nào sau đây không phải căn bậc hai số học?

A. 4

B. 0

C. 1

D. - 4

Câu 6. Giá trị của $\sqrt{144}+\sqrt{49}$ là:

A. 17

B. 19

C. 21

D. 23

Câu 7. So sánh $\sqrt{50}$ và 7, khẳng định nào đúng?

$\text{A. } \sqrt{50} < 7$

$\text{B. } \sqrt{50} = 7$

$\text{C. } \sqrt{50} > 7$

$\text{D. Không thể so sánh}$

Câu 8. Số nào nằm giữa $\sqrt{16}$ và $\sqrt{25}$ ?

A. 3

B. 4

C. 4,5

D. 6

Câu 9. Nếu $\sqrt{x}=8$ thì giá trị của x là:

A. 16

B. 32

C. 64

D. 128

Câu 10. Nếu $\mathrm{x} \geq 0$ và $x^2=121$, giá trị của x là:

A. - 11

B. 11

C. ± 11

D. 121

Câu 11. Giá trị của biểu thức $\sqrt{81}-\sqrt{16}+\sqrt{25}$ là:

A. 8

B. 9

C. 10

D. 12

Câu 12. Số nào sau đây lớn nhất?

$\text{A. } \sqrt{35}$

$\text{B. } 6$

$\text{C. } \sqrt{40}$

$\text{D. } \sqrt{36}$

Câu 13. Tìm x, biết $\sqrt{x+9}=5$.

A. x = 14

B. x = 16

C. x = 25

D. x = 34

Câu 14. Tìm $\mathrm{x} \geq 0$, biết: $\sqrt{x}+\sqrt{4 x}=9$.

A. x = 4

B. x = 6

C. x = 9

D. x = 16

Câu 15. Cho $\mathrm{A}=\sqrt{50}+\sqrt{18}-\sqrt{8}$. Giá trị của A là:

A. $4\sqrt{2}$

B. $5\sqrt{2}$

C. $6\sqrt{2}$

D. $7\sqrt{2}$

Đáp án

B. Phần tự luận

Bài 1. Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:

a) $\sqrt{\frac{3}{x-2}}$

b) $\sqrt{\frac{x+1}{5-x}}$

c) $\sqrt{x^2-4x+3}$

d) $\frac{1}{\sqrt{x+2}-3}$

e) $\frac{\sqrt{x-1}}{x^2-9}$

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}$

b) $\sqrt{14-4 \sqrt{10}}$

c) $3-2x-\sqrt{x^2-6 x+9}$ với $x < 3$

d) $\frac{x-4}{\sqrt{x}-2}$ với $x \ge 0, x \neq 4$

e) $\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}$ với $x \ge 0, x \neq 4$

Bài 3. Chứng minh rằng: $\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{8}+\sqrt{15}+\sqrt{24}+\sqrt{35}<18$
Bài 4. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x^2-8x+16} = 4$

b) $\sqrt{x^2-4x+4} = 2x-3$

c) $\sqrt{x+3} + \sqrt{x-1} = 4$

Bài 5. Rút gọn các biểu thức dưới đây:
a) $A = \sqrt{48} - 2\sqrt{12} + \sqrt{27}$

b) $B = 3x - \sqrt{x^2 + 6x + 9}$

c) $C = \sqrt{\frac{(x^2 - 4)^2 + 8x^2}{x^2}} + \sqrt{(x - 3)^2 + 6x}$

Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) $\mathrm{A} = \sqrt{4 - 2x^2}$

b) $\mathrm{B} = \sqrt{-4x^2 + 8x + 5}$

c) $\mathrm{C} = 6 + \sqrt{-x^2 + 6x - 8}$

Bài 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\mathrm{A}=5-2 \sqrt{x+1}$ với $\mathrm{x} \geq-1$.

Bài 8. Tìm m để phương trình $\sqrt{x+2}=\mathrm{x}-\mathrm{m}$ có đúng một nghiệm thực.

Bài 9. Cho $\mathrm{x}>0$ và biểu thức $\mathrm{A}=\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2$

a) Rút gọn biểu thức A

b) Chứng minh $A \ge 4$

c) Tìm $x$ để $A = 9$

d) Tìm tất cả giá trị $x > 0$ để $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 5$

Bài 10. So sánh $\sqrt{a+1}+\sqrt{a+4}$ và $2 \sqrt{a+2}$ với $\mathrm{a} \geq 0$. Xác định trường hợp xảy ra dấu bằng.

Hy vọng những kiến thức và bài tập trên đã giúp các con hiểu rõ hơn về căn bậc hai số học, đồng thời biết cách vận dụng vào từng dạng bài cụ thể.

Xem thêm: Số thập phân vô hạn tuần hoàn là gì?

Bên cạnh việc tự học và luyện tập, các con có thể tham khảo khóa học Toán tại Học là Giỏi để có thêm phương pháp học tập và ôn luyện hiệu quả. Khóa học được xây dựng với lộ trình phù hợp, nội dung bám sát chương trình Kết nối tri thức với cuộc sống, giúp các con hệ thống kiến thức theo từng chủ đề, luyện tập theo từng dạng bài và chủ động hơn trong quá trình học Toán