Số nguyên là gì? Các tính chất đặc trưng của chúng

Khái niệm và phân loại số nguyên

Số nguyên là các số không có phần phân số, bao gồm: số 0, số tự nhiên dương (1, 2, 3,...) và số nguyên âm (−1, −2, −3,...). Tập hợp số nguyên ký hiệu là Z, bắt nguồn từ tiếng Đức Zahlen (nghĩa là "số"), thuộc tập hợp số hữu tỷ và số thực.

Phân loại số nguyên

Chúng ta có thể dễ dàng phân chúng thành ba loại chính: số nguyên dương, số nguyên âm, và số 0. Mỗi loại lại có một dặc điểm và cách sử dụng riêng.

Số nguyên dương

Đây là những số lớn hơn 0 (ký hiệu là Z+), thường được sử dụng để đếm hoặc mô tả các đối tượng trong cuộc sống. Ví dụ như số 1, 2, 3,4,5,.... 

Số nguyên âm

Ngược lại, số nguyên âm là những con số nhỏ hơn 0 (được ký hiệu là Z-). Ví dụ, -1, -2, -3,... Chúng thường xuất hiện khi chúng ta nói về nợ nần (số tiền nợ), nhiệt độ giảm dưới 0, hoặc nhiệt độ dưới 0.

Số 0

Số 0 có phải là số nguyên không? Số 0 chính là 1 số đặc biệt ở giữa của mọi thứ. Nó không dương cũng không âm, là điểm giữa trên trục số.

Biểu diễn trên trục số và số đối

Khi biểu diễn trên trục số ngang, các số nguyên dương nằm về phía bên phải của điểm 0, các số nguyên âm nằm về phía bên trái. Cả hai tập hợp này đều vô hạn, được biểu diễn trên một đường thẳng kéo dài mãi mãi. Điểm 0 đóng vai trò là gốc của trục số, nằm chính giữa, chia trục thành hai phần: phía số dương và phía số âm.

Ngoài ra, trục số cũng có thể được vẽ theo chiều dọc. Trong trường hợp này:

- Hướng dương đi từ dưới lên trên, được chỉ bằng mũi tên.

- Điểm 0 là gốc của trục, nằm ở giữa, biểu diễn số 0.

- Khoảng cách giữa điểm 0 và điểm 1 trên trục biểu diễn độ dài đơn vị, với số 1 nằm phía trên điểm 0.

Khái niệm số đối xuất hiện từ điểm gốc 0. Hai số được gọi là đối nhau khi chúng nằm ở hai phía đối diện của điểm 0 và có cùng khoảng cách tới điểm 0.

Tính chất:

+ Số đối của một số nguyên dương là số nguyên âm tương ứng và ngược lại

+ Số đối của 0 vẫn là 0.

Để viết số đối của một số nguyên dương, chỉ cần đặt dấu “-” trước số đó. Ngược lại, để viết số đối của một số nguyên âm, bạn chỉ cần bỏ dấu “-”.

Tính chất của số nguyên

Số nguyên có những tính chất đặc trưng mà bạn cần lưu ý khi giải bài tập. Dưới đây là các tính chất của chúng.

Tính chất đóng

Tính chất đóng chỉ ra rằng, khi ta thực hiện các phép toán cơ bản như cộng, trừ, hoặc nhân giữa hai số, kết quả luôn là một số nguyên khác. Ví dụ, khi 2 + 3 = 5; 6 x 4 = 24 sẽ cho 1 số nguyên khác. 

Tính chất giao hoán

Trong phép cộng và phép nhân số nguyên, thứ tự của các số không ảnh hưởng đến kết quả. Nếu bạn có 2 + 3 = 5, và nếu bạn đổi ngược lại kết quả vẫn không thay đổi, 3 + 2 = 5. Điều tương tự cũng xảy ra với phép nhân. Tuy nhiên, tính chất này không áp dụng cho phép trừ hoặc phép chia.

Tính chất kết hợp

Tính chất kết hợp nói về cách bạn nhóm các số khi thực hiện phép cộng hoặc phép nhân. Bạn có thể cộng hoặc nhân các số nguyên theo từng cặp mà kết quả cuối cùng vẫn không thay đổi. Ví dụ, khi bạn có 1 + (2 + 3) hoặc (1 + 2) + 3, kết quả vẫn là 6. 

Tính chất phân phối

Tính chất phân phối chủ yếu áp dụng trong sự kết hợp giữa phép nhân và phép cộng. Đây là việc phân chia một lượng lớn ra thành nhiều phần nhỏ hơn để tính toán dễ hơn. Chẳng hạn, nếu bạn có phép nhân 2 x (3 + 4), bạn có thể phân phối 2 cho từng số bên trong ngoặc: 2 x 3 + 2 x 4, kết quả đều bằng 14.

Ứng dụng của số nguyên

Số nguyên hỗ trợ rất nhiều lĩnh vực trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta. Một số lĩnh vực nổi bật có thể kể đến như:

Toán học

Trong toán học, loại số này chính là nền tảng để chúng ta xây dựng mọi thứ. Không có chúng, việc tính toán sẽ trở nên rối rắm và khó kiểm soát.

Đại số: Trong các phương trình đơn giản và phức tạp, số nguyên sẽ là ẩn số hoặc các hệ số quan trọng. Đây chính là những giá trị mà bạn đang tìm kiếm, giúp giải mã các bài toán đại số.

Hình học: Các con số cũng giúp xác định tọa độ, đo lường góc cạnh và tính diện tích, chu vi. Ví dụ, trong hệ tọa độ phẳng, các điểm có thể được biểu diễn, từ đó giúp ta định vị mọi thứ từ hình vuông, hình tròn cho đến những đường thẳng.

Xác suất và thống kê: Trong thống kê, chúng ta luôn cần đến các con số nguyên để đếm số lượng, tính toán tỷ lệ, và đưa ra các phân tích xác suất. 

Khoa học

Vật lý: Trong vật lý, số nguyên dùng để đo lường và tính toán các đại lượng như vận tốc, gia tốc, hay số lượng hạt trong một hệ thống. Chẳng hạn, việc tính toán khoảng cách, thời gian và lực đều cần đến số nguyên để đạt được độ chính xác tối đa.

Hóa học: Ở đây giúp biểu thị số nguyên tử trong các hợp chất, cân bằng phương trình hóa học, hay xác định số lượng proton, neutron và electron trong một nguyên tử. Chính những con số này giúp các nhà hóa học có thể dự đoán phản ứng xảy ra và tạo ra các hợp chất mới.

Sinh học: Trong sinh học, số nguyên giúp việc tính toán số lượng cá thể trong một quần thể, xác định số lượng nhiễm sắc thể, cho đến việc đếm số lần một tế bào phân chia. 

Công nghệ

Trong thế giới công nghệ, dạng số này giúp xây dựng mọi thứ từ phần mềm cho đến hệ thống máy tính.

Lập trình: Các nhà phát triển sử dụng số nguyên trong mọi loại ngôn ngữ lập trình để biểu diễn dữ liệu, xác định điều kiện và thực hiện các phép tính logic. Ví dụ như đếm số vòng lặp trong một đoạn mã, kiểm tra điều kiện trong một hàm.

Thuật toán: Trong các thuật toán, loại số này giúp xác định các bước xử lý, các điểm dừng hoặc điều kiện để tìm ra kết quả cuối cùng. Ví dụ, trong thuật toán tìm kiếm nhị phân, số nguyên giúp xác định vị trí giữa của một mảng dữ liệu, từ đó giảm thiểu số lần tìm kiếm và tăng tốc độ xử lý.

Hệ thống thông tin: Số nguyên còn được sử dụng để biểu diễn các thông tin quan trọng như địa chỉ IP, mã hóa dữ liệu và xử lý thông tin. Chúng giúp hệ thống nhận diện và truy cập thông tin một cách nhanh chóng và chính xác.

Bài tập số nguyên

Dưới đây là một số bài tập từ cơ bản tới nâng cao ứng dụng kiến thức về số nguyên ở trên. 

Bài tập cơ bản

Bài 1: Sắp xếp các số sau theo thứ tự từ bé đến lớn

-3; 4; 7; - 7; 0; - 1; + 15; - 8; 25.

+) Ta có số nguyên dương: 4; 7; 15; 25

=>  0 < 4 < 7 < 15 < 25 (1)

+) Ta có số nguyên âm: -3; -7; -1; -8

=>  -8 < -7 < -3 < -1 < 0 (2)

Từ (1) và (2) ta được: -8 < -7 < -3 < -1 < 0 < 4 < 7 < 15 < 25

Bài 2: Mỗi nhiệt kế dưới đây chỉ bao nhiêu độ C?

Nhiệt độ mỗi nhiệt kế chỉ lần lượt là: $-7^{o}C; {31}^{o}C ; 0^{o}C; -{22}^{o}C$

Bài tập nâng cao

Bài 3: Tìm các số nguyên sao cho:

a) Tổng của nó và 9 bằng 20;

b) Tổng của 5 và một nửa của nó là 10.

Lời giải:

a) Gọi x là số nguyên cần tìm.

Ta có: x + 9 = 20

x = 20 - 9

x = 11

Vậy số cần tìm là 11.

b) Gọi x là số nguyên cần tìm.

Ta có: 5 + x : 2 = 10

x : 2 = 10 - 5

x : 2 = 5

x = 5.2

x = 10

Vậy số cần tìm là 10.

Bài 4: Tính giá trị của các biểu thức:

a) A = 5 - (3 + 2).4;

b) B = |-123| + 77 + (48 - 3.6) : 2.

Lời giải:

a) A = 5 - (3 + 2).4

= 5 - 5.4

= 5 - 20

= -15

b) B = |-123| + 77 + (48 - 3.6) : 2

= 123 + 77 + (48 - 18) : 2

= 200 + 30 : 2

= 200 + 15

= 215

Xem thêm:

Số nguyên tố là gì?

Số tự nhiên là gì? Các tính chất của số tự nhiên

Kết luận

Số nguyên đã và đang là nền tảng để xây dựng một hệ thống toán học và khoa học rộng lớn trong đời sống. Vậy nên, trung tâm gia sư online Học là Giỏi mong muốn bạn sẽ áp dụng những kiến thức đã được chia sẻ ở trên để khám phá và ứng dụng vào trong thực tiễn.