Nắm trọn kiến thức đường kính và dây của đường tròn

Khái niệm đường kính và dây cung của đường tròn

Đường kính và dây cung là những thành phần cơ bản của hình tròn mà các bạn phải lưu ý khi vận dụng vào các bài tập hình học. Dưới đây sẽ khái quát lý thuyết về 2 thành phần này.

Định nghĩa đường kính

Đường kính là một đoạn thẳng dài nhất mà bạn có thể vẽ trong hình tròn, nối hai điểm trên đường tròn và đi qua đúng tâm của nó. Đường kính chính là một trục giúp chia hình tròn thành hai nửa bằng nhau. Đường kính dài gấp đôi bán kính bởi vì nó bao gồm hai lần khoảng cách từ tâm đến một điểm bất kỳ trên đường tròn.

Định nghĩa dây cung

Dây cung lại là một đoạn thẳng khác, cũng nối hai điểm trên đường tròn, nhưng không nhất thiết phải đi qua tâm. Dây cung ngắn hơn đường kính khi nó không trùng với đường kính. 

Dây cung có thể có nhiều độ dài khác nhau, tùy thuộc vào vị trí của nó trên hình tròn. Đặc biệt, khi dây cung càng gần với tâm, nó càng dài ra và dần tiến đến độ dài của đường kính.

Mối quan hệ giữa đường kính và dây cung

Đường kính chính là dây cung dài nhất trong mọi dây cung có thể vẽ trong một hình tròn. Bất kỳ dây cung nào cũng sẽ ngắn hơn đường kính trừ khi dây cung ấy đi qua tâm, lúc đó nó mới có độ dài bằng đường kính.

Tính chất của đường kính và dây cung

Định lý 1: Trong một hình tròn, nếu một đường kính vuông góc với một dây cung, thì đường kính này sẽ đi qua trung điểm của dây cung đó.

Định lý 2: Trong một hình tròn, nếu một đường kính đi qua trung điểm của một dây cung (dây không đi qua tâm), thì đường kính sẽ vuông góc với dây cung ấy.

Ứng dụng của đường kính và dây cung

Các ứng dụng của đường kính và dây cung hỗ trợ rất nhiều trong việc giải các bài tập về hình tròn. Dưới đây là các ứng dụng cụ thể:

Chứng minh các tính chất hình học liên quan đến đường tròn

Đầu tiên, đường kính và dây cung đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh các tính chất hình học của hình tròn. Các tính chất này có thể áp dụng để chứng minh nhiều bài toán khác giúp ta hiểu mối liên hệ giữa các yếu tố trong hình tròn. Với những định lý này, bất kỳ ai cũng có thể hiểu rõ thêm các bài toán về hình tròn.

Tính toán độ dài các đoạn thẳng trong đường tròn

Khi nhắc đến đường tròn, đường kính và dây cung thường xuyên xuất hiện trong việc tính toán độ dài của các đoạn thẳng bên trong. Nhờ vào đường kính, ta có thể tính được bán kính , từ đó suy ra chu vi và diện tích của hình tròn. 

Dây cung cũng có nhiều điều thú vị khi tính toán. Bằng cách áp dụng các công thức lượng giác và các tính chất hình học, ta có thể tìm độ dài của một dây cung khi biết góc ở tâm hoặc ngược lại. 

Giải các bài toán thực tế liên quan đến đường tròn

Các khái niệm như đường kính và dây cung cũng xuất hiện trong đời sống thực tế nhiều hơn bạn nghĩ. Chẳng hạn, khi thiết kế một sân vận động hình tròn, ta cần tính toán chu vi, diện tích, và bố trí các hàng ghế sao cho hợp lý – tất cả đều dựa vào kiến thức về đường kính và dây cung. 

Không chỉ trong kiến trúc, mà ngay cả trong các ngành như cơ khí, vật lý và thiên văn học, các nhà khoa học cũng dùng đến kiến thức về đường kính và dây cung để đo đạc và tính toán. 

Bài tập đường kính và dây của đường tròn

Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho tam giác ABC với hai đường cao BD và CE. Chúng ta sẽ chứng minh rằng bốn điểm B, D, C, và E cùng nằm trên một đường tròn và rằng ED<BC.

Vì △EBC và △DBC là hai tam giác vuông có chung cạnh huyền BC, nên cả hai tam giác này có đường tròn ngoại tiếp chung. Đường tròn này sẽ có tâm là điểm F, trung điểm của BC, và bán kính là FB.

Do đó, các điểm B, E, D, và C cùng nằm trên một đường tròn.

Trong đường tròn có đường kính BC, đoạn ED là một dây cung. Vì vậy, ED<BC.

Bài 2: Cho đường tròn (O) có bán kính 4 cm. Dây HK vuông góc với OI tại trung điểm của OI. Yêu cầu là tính độ dài đoạn HK.

Gọi M là trung điểm của OI. Vì O là tâm của đường tròn và OI là một đoạn nối từ tâm ra ngoài, nên $OM = \dfrac{OI}{2} = 2$.

Xét tam giác vuông OMH, áp dụng định lý Pythagore, ta có:

$OH^2 = OM^2 + MH^2$

Suy ra:

$MH^2 = OH^2 - OM^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$

Vậy:

$MH = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ cm}$

Vì OI⊥HK nên M là trung điểm của HK. Do đó:

$HK = 2 \times MH = 4\sqrt{3} \text{ cm}$

Bài tập nâng cao

Bài 3: Cho đường tròn (O) có đường kính AD=2R. Từ điểm D, vẽ cung tròn bán kính R cắt đường tròn (O) tại B và C.

a) Xác định loại tứ giác OBDC

b) Tính các góc $\widehat{CBD}$, $\widehat{CBO}$, $\widehat{OBA}$

c) Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều

a) Ta có BD=DC=R, đồng thời OB=BD=DC=OC. Điều này cho thấy OB=BD=DC=CO, nên tứ giác OBDC là một hình thoi.

b) Vì OB=BD=DO=R, tam giác BOD là tam giác đều. Do đó, góc $\widehat{DBO}=60^{\circ }$.

Trong hình thoi OBDC, đường chéo BC đóng vai trò là đường phân giác của góc $\widehat{DBO}$, nên:

$\widehat{DBC}=\widehat{CBO}=30^{\circ }$

Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn với đường kính AD, nên góc $\widehat{ADB}=90^{\circ }$. Do đó:

$\widehat{ABO}=\widehat{ABD}-\widehat{OBD}=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$

c) Xét tam giác ABC, ta có:

$\widehat{ABC}=\widehat{ABO}+\widehat{OBC}=30^{\circ }+30^{\circ }=60^{\circ }$

Tương tự, ta cũng tìm được $\widehat{ACB}=60^{\circ }$. Vậy tam giác ABC có ba góc bằng nhau, nên ABC là tam giác đều.

Kết luận

Nhìn chung, đường kính và dây của đường tròn giúp chúng ta dễ xử lí những bài toán và lý thuyết hình học đường tròn phức tạp hơn. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng rằng qua những kiến thức này, bạn nắm bắt được các kiến thức và sẵn sàng đối mặt với các bài toán khó hơn trong tương lai về đường kính và dây cung này nhé.