Đa giác là gì? Những loại đa giác thường gặp

Kiến thức cần nhớ đa giác

Đa giác là hình học bạn sẽ dễ dàng thấy được ở thực tiễn hay các bài tập, đặc biệt sẽ xuất hiện phổ biến trong kiến thức hình học lớp 8. Để nắm bắt kiến thức cơ bản, dưới đây là khái niệm để bạn có cái nhìn rõ hơn về loại hình này.

Khái niệm 

Một đa giác A1, A2, ..., An là hình tạo thành bởi n đoạn thẳng A1A2, A2A3, ..., AnA1, trong đó không có hai đoạn thẳng nào nằm trên cùng một đường thẳng. Ta có:

- Đa giác với n đỉnh được gọi là hình n-giác hoặc hình n cạnh.

- Đường chéo của đa giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh không liền kề nhau.

Ví dụ:

Hình ABCDEF có 6 cạnh, còn được gọi là lục giác.

Hình GHIJK có 5 cạnh, còn gọi là ngũ giác.

Đa giác lồi

Đây là loại đa giác mà toàn bộ hình nằm về một phía của đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của nó.

Ví dụ: Hình ABCDEF là đa giác lồi vì nó hoàn toàn nằm về một phía của mỗi đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của nó.

Hình GHIJK không phải là đa giác lồi do không nằm hoàn toàn về một phía của đường thẳng chứa cạnh JK.

Chú ý: Từ nay, khi nhắc đến đa giác mà không có chỉ định cụ thể, ta sẽ mặc định đó là đa giác lồi.

Đa giác đều

- Đa giác đều là loại đa giác có các cạnh bằng nhau và các góc trong bằng nhau. Loại hình này có tính đối xứng cao, thường được sử dụng trong thiết kế và xuất hiện trong nhiều mô hình tự nhiên.

Lưu ý: Số đo của mỗi góc trong một đa giác đều với n đỉnh được tính bằng công thức $\frac{(n-2)\times 180°}{n}$.

Tính chất của Đa giác

Loại hình này là một khái niệm quan trọng trong hình học phẳng với nhiều tính chất đặc trưng làm đa dạng thêm cách chúng được ứng dụng. Những tính chất này không chỉ có ý nghĩa trong lý thuyết mà còn có giá trị thực tiễn.

Tổng số đo các góc trong:  Với một đa giác có n đỉnh, tổng các góc trong được tính bằng công thức ( n − 2 ).180 ° với n là số đỉnh, n > 2.

Số đường chéo: Số đường chéo của một đa giác với n đỉnh được tính bằng công thức $\frac{n.( n - 3 )}{2}$ với n là số đỉnh và n > 3.

Tính chất đối xứng: Nếu có một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và trung điểm của đường chéo chia thành hai phần thì hình sẽ đối xứng qua đường thẳng đó.

Những tính chất này giúp nhận diện và giải quyết nhiều vấn đề toán học, từ đơn giản đến phức tạp, và là cơ sở cho việc ứng dụng trong các lĩnh vực như thiết kế, kiến trúc, và kỹ thuật.

Ứng dụng trong thực tiễn

Hình học này không chỉ là một khái niệm toán học mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn quan trọng trong nhiều lĩnh vực như kỹ thuật, nghệ thuật, và khoa học máy tính.

Kiến trúc và xây dựng: Hình học này thường được sử dụng trong việc thiết kế các khuôn viên và các công trình kiến trúc độc đáo như lăng kính, kim tự tháp.

Đồ họa máy tính: Trong lĩnh vực đồ họa, đặc biệt là đa giác lồi, được sử dụng để mô phỏng hình dạng và hiển thị các đối tượng 3D.

Nghệ thuật và thiết kế: Loại hình này có ảnh hưởng lớn trong việc tạo ra các mẫu thiết kế thời trang và tác phẩm nghệ thuật trừu tượng.

Các đặc tính như đối xứng và cân bằng khiến chúng trở thành công cụ hữu ích trong nhiều lĩnh vực, giúp các nhà khoa học và nghệ sĩ không ngừng sáng tạo và ứng dụng.

Bài tập đa giác

Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho ngũ giác ABCDE. Kẻ các đường chéo AC và AD. Kể tên các đa giác có trong hình vẽ.

Các đa giác có trong hình vẽ là:

+ Tam giác ABC; ACD; ADE

+ Tứ giác ABCD; ACDE

+ Ngũ giác là ABCDE

Bài 2: Tính số đường chéo của một hình lục giác.

Vì lục giác là hình có 6 đỉnh nên áp dụng công thức tính số đường chéo của đa giác ta có: 

Số đường chéo của hình lục giác là: 

$\frac{n.( n - 3 )}{2}$ = $\frac{6.( 6 - 3 ) }{2}$= 9 (đường chéo)

Bài tập nâng cao

Bài 3: Cho hình thoi ABCD có $\hat{A}$ = 60 ° . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh MBNPDQ là lục giác đều.

Vì ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA 

Lại có M là trung điểm của AB ⇒ BM = AM = $\frac{1}{2}$ AB 

N là trung điểm của BC ⇒ CN = NB = $\frac{1}{2}$BC 

P là trung điểm của CD ⇒ PC = PD = $\frac{1}{2}$DC 

Q là trung điểm của AD ⇒ AQ = QD = $\frac{1}{2}$AD 

Do đó: AM = BM = CN = NB = CP = PD = AQ = QD  (1) 

Xét tam giác AQM có: 

AQ = AM 

$\widehat{QAM }$= 60 ° 

⇒ Δ AQM là tam giác đều 

⇒ AM = MQ (2) 

Do ABCD là hình thoi 

⇒  $\widehat{QAM }$= $\widehat{NCP}$ = 60 ° (tính chất) 

Xét tam giác CPN có 

CP = CN 

$\widehat{NCP}$ = 60 ° 

⇒ Δ CPN là tam giác đều 

⇒ CN = PN (3) 

Từ (1); (2); (3) ⇒ BM = BN = NP = PD = DQ = QM (*) 

Xét hình thoi ABCD có

 $\hat{A}$ = $\hat{C}$ = 60 ° ⇒ $\hat{B}$ = $\hat{D}$ = 120 ° (4) 

Ta có: $\widehat{AMQ}$ và $\widehat{BMQ}$ là hai góc kề bù 

⇒ $\widehat{BMQ}$ + $\widehat{AMQ }$= 180 ° 

Mà $\widehat{AMQ }$= 60 ° do tam giác AMQ đều 

⇒ $\widehat{BMQ}$ + 60 ° = 180 ° 

⇒ $\widehat{BMQ}$ = 120 ° (5) 

Chứng minh tương tự ta được các góc $\widehat{DQM}$ = $\widehat{BNP}$ = $\widehat{DPN}$ = 120 ° (6) 

Từ (4); (5); (6) 

⇒ $\hat{B}$ = $\hat{D}$ = $\widehat{BMQ}$ = $\widehat{DQM}$ = $\widehat{BNP}$ = $\widehat{DPN}$ = 120 ° (**) 

Xét lục giác MBNPDQ có: 

BM = BN = NP = PD = DQ = QM (theo (*)) 

$\hat{B}$ = $\hat{D}$ = $\widehat{BMQ}$ = $\widehat{DQM}$ = $\widehat{BNP}$ = $\widehat{DPN}$ = 120 ° (theo (**)) 

Vậy lục giác MBNPDQ là lục gác đều.

Bài 4: Một đa giác đều có n cạnh. Mỗi góc của nó bằng 156°. Tính số cạnh của hình.

Áp dụng công thức tính số đo mỗi góc trong đa giác đều ta có: 

( n − 2 ) 180 °/ n = 156 ° 

⇔ ( n − 2 ) 180 ° = n. 156 °

 ⇔ n .180 ° − 360 ° = n .156 ° 

⇔ n .180 ° − n .156 ° = 360 ° 

⇔ n.( 180 ° − 156 ° ) = 360 ° 

⇔ n .24 ° = 360 ° 

⇔ n = 360 ° : 24 ° 

⇔ n = 15

Vậy đa giác đều này có 15 cạnh.

Xem thêm: 

Tổng hợp kiến thức về đối xứng trục lớp 8

Tổng quát kiến thức về hình bình hành lớp 8 

Kết luận

Đa giác là hình học thú vị trong toán học đóng góp nhiều ứng dụng cho các ngành khác nhau qua những tính chất hình học đơn giản. Qua bài học này, trung tâm gia sư online Học là Giỏi hi vọng bạn đã nắm bắt kiến thức trên và dễ dàng ứng dụng trong các bài toán sau này.