Tổng hợp các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Khi nói đến sự đồng dạng của hai tam giác vuông, có một số trường hợp cụ thể mà chúng ta có thể dựa vào để xác định sự đồng dạng này. Dưới đây là ba trường hợp phổ biến để nhận biết sự đồng dạng của hai tam giác vuông:

Trường hợp 1

Khi hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau thì hai tam giác vuông này đồng dạng. Vì tổng của các góc trong một tam giác là 180 độ, và cả hai tam giác đều có góc vuông (90 độ), điều này có nghĩa là góc nhọn còn lại của mỗi tam giác cũng phải bằng nhau. Do đó, hai tam giác này sẽ đồng dạng theo tiêu chuẩn góc – góc (g.g.). Trường hợp này rất hữu ích khi chỉ cần biết hai góc mà không cần quan tâm đến chiều dài các cạnh.

Xét ∆ABC và ∆A'B'C' có: $\hat{A} = \widehat{A \prime }= {90}^o , \hat{B} = \widehat{B \prime }$

⇒ Δ ABC ∽ Δ A′B′C′ ( g . g ) 

Trường hợp 2

Nếu hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có tỉ lệ tương đương với hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông khác, thì hai tam giác đó đồng dạng. Đặc điểm này thường xuất hiện trong các bài toán yêu cầu tìm chiều dài của các cạnh hoặc diện tích của tam giác mà không cần biết góc cụ thể. Khi biết tỉ lệ của hai cạnh góc vuông, chúng ta có thể suy ra tỉ lệ của các cạnh còn lại theo tỉ lệ đó.

Xét ∆ABC và ∆A'B'C' có $\hat{A} = \widehat{A \text{'} }= {90}^o$ , $\frac{AB}{A\text{'}B\text{'}}= \frac{AC}{A\text{'}C\text{'}}$ 

 ⇒ ∆ABC ᔕ ∆A'B'C'.

Trường hợp 3

Nếu cạnh huyền và một trong hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này có tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông tương ứng của tam giác vuông kia, thì hai tam giác đó đồng dạng. Trong trường hợp này, tỉ lệ giữa cạnh huyền và một cạnh góc vuông giúp xác định mối quan hệ đồng dạng giữa hai tam giác. Khi áp dụng ta có thể tính toán được các cạnh còn lại của tam giác thông qua tỉ lệ đã cho, giúp giải nhanh các bài toán về tam giác vuông đồng dạng.

Xét ∆ABC và ∆A'B'C' có $\hat{A} = \widehat{A \text{'} }= {90}^o$, $\frac{AB}{A\text{'}B\text{'} }\prime = \frac{BC}{ B\text{'}C\text{'}}$ 

 ⇒ ∆ABC ᔕ ∆A'B'C'.

Chú ý:

Khi hai tam giác đồng dạng, có một số tính chất đặc biệt về tỉ lệ mà chúng ta có thể tận dụng:

- Tỉ số giữa hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng đúng với tỉ số đồng dạng của hai tam giác đó.

- Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương của tỉ số đồng dạng giữa chúng.

Ứng dụng của tính chất đồng dạng của hai tam giác vuông

Tính chất đồng dạng có những ứng dụng thực tiễn, đặc biệt hữu ích trong hình học và cả những bài toán ngoài đời thực. Hãy cùng tìm hiểu cách nó được ứng dụng cụ thể như thế nào nhé.

Tính độ dài các đoạn thẳng

Đầu tiên, tính chất đồng dạng giúp ta tính toán các đoạn thẳng một cách dễ dàng. Khi hai tam giác vuông đồng dạng, tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng của chúng sẽ giống nhau. Điều này có nghĩa là chỉ cần biết một vài thông tin, chúng ta có thể suy ra độ dài của các cạnh còn lại mà không cần phải đo đạc từng đoạn cụ thể. 

Chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Tiếp theo, tính chất đồng dạng là chìa khóa để chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác vuông – những công thức về tỉ lệ cạnh mà chắc chắn bạn đã gặp nhiều trong các bài học hình học. Thay vì phải đo từng góc, từng cạnh, chúng ta chỉ cần sử dụng các tam giác đồng dạng để thiết lập mối quan hệ giữa chúng. 

Giải các bài toán thực tế liên quan đến hình học

Các bài toán thực tế cũng là nơi tính chất đồng dạng phát huy tác dụng rất nhiều trong đời sống. Đối với công trình xây dựng, thiết kế, hay ngay cả đo đạc trong tự nhiên, mọi thứ đều cần đến sự chính xác của hình học.

Bài tập đồng dạng của hai tam giác vuông

Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC với AB<AC. Kẻ các đường cao BD và CE, chúng cắt nhau tại H.

Chứng minh:

a) △ABD∼△ACE

b) △BEH∼△CDH

Giải

Sử dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông.

a) Xét hai tam giác △ABD và △ACE:

Cả hai tam giác đều có góc $\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^{\circ }$.

Góc $\hat{A}$ là góc chung.

Vì vậy, △ABD∼△ACE theo trường hợp góc - góc (g.g).

b) Xét hai tam giác △BEH và △CDH:

Cả hai tam giác đều có góc $\widehat{BEH}=\widehat{CDH}=90^{\circ }$.

Góc $\widehat{EHB}=\widehat{DHC}$ vì đây là hai góc đối đỉnh.

Do đó, △BEH∼△CDH theo trường hợp góc - góc (g.g).

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, với đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AH và BH.

Chứng minh:

a) $HA^2 = HB \cdot HC$

b) △AHN∼△CHM

Giải

Sử dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông.

a) Xét hai tam giác △ABH và △CAH:

 $\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90^{\circ }$

 $\widehat{ABH}=\widehat{HAC}$ (vì cả hai góc đều phụ với $\widehat{HAB}$).

Do đó, △ABH∼△CAH theo trường hợp góc - góc (g.g).

Từ đó suy ra:

$\frac{HA}{HC} = \frac{HB}{HA}$

Nên $HA^2 = HB \cdot HC$.

b) Vì △ABH∼△CAH (đã chứng minh), ta có:

$\frac{AH}{CH} = \frac{BH}{AH}$

Do M là trung điểm của AH, nên $AH = 2 \cdot HM$.

Do N là trung điểm của BH, nên $BH = 2 \cdot HN$.

Vậy:

$\frac{BH}{AH} = \frac{2 \cdot HN}{2 \cdot HM} = \frac{HN}{HM}$

Từ đó suy ra:

$\frac{AH}{CH} = \frac{HN}{HM}$

Xét hai tam giác △AHN và △CHM:

Góc $\widehat{AHN}=\widehat{CHM}=90^{\circ }$

$\frac{AH}{CH} = \frac{HN}{HM}$​ (chứng minh ở trên).

Do đó, △AHN∼△CHM theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c).

Bài tập nâng cao

Bài 3: Tìm x,y theo hình vẽ đã cho sau:

Với các giả thiết trong hình, ta xác định được kết quả đúng như sau:

Xét hai tam giác vuông △ADO (vuông tại A) và △ECO (vuông tại E):

 $\widehat{AOD}=\widehat{EOC}$ (là hai góc đối đỉnh).

Do đó, △ADO∼△ECO theo trường hợp góc - góc (g.g).

$\frac{AD}{EC}=\frac{DO}{CO}\iff \frac{4}{x}=\frac{5}{6}\iff x=\frac{4.6}{5}=4,8$

Vì △ADO vuông tại A, áp dụng định lý Pythagore, ta có:

$AD^2 + AO^2 = OD^2 \Rightarrow 4^2 + AO^2 = 5^2 \Rightarrow AO^2 = 25 - 16 = 9 \Rightarrow AO = 3$

Xét hai tam giác vuông △CEO (vuông tại E) và △CAB (vuông tại A) có điểm C là chung.

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{CO}{CB}=\frac{CE}{CA} \\ \iff \frac{CO}{CE+EB}=\frac{CE}{CO+OA} \\ \iff \frac{6}{4,8+y}=\frac{4,8}{6+3} \\ \iff y=6,45 \end{gathered}$$

Từ đó, ta tính được x=4,8 và y=6,45.

Xem thêm:

Nắm trọn các tính chất đường phân giác trong tam giác

Khám phá tính chất đường trung bình của tam giác 

Kết luận

Hiểu rõ các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông giúp chúng ta giải nhanh các bài toán hình học và ứng dụng rộng rãi kiến thức trong thực tế. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng rằng những kiến thức về đồng dạng của tam giác vuông sẽ là hành trang vững chắc, giúp bạn tự tin bước vào thế giới hình học đầy thử thách.