[Tổng hợp chi tiết] Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn chương trình Toán 10 hiện nay có gì đặc biệt?

Trước hết, chúng mình ôn lại phần lí thuyết về bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, sau đó chúng ta sẽ đi vào luyện tập các dạng bài tập trọng tâm, trong đó không thể thiếu các bài toán thực tiễn có trong chương trình toán 10 hiện nay. Chúng mình cùng lấy vở, bút, máy tính, thước kẻ để bắt đầu học nào!

Hãy bắt đầu bài học nào

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x$, $y$ là bất phương trình có một trong các dạng sau: $a x+b y<c, a x+b y>c, a x+b y \leq c, a x+b y \geq c$, trong đó $a, b, c$ là những số thực cho trước với $a, b$ không đồng thời bằng $0 ; x, y$ là các ẩn.

- Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, đường thẳng $d: ax+b y=c$ chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng (không kể $d$ ) là miền nghiệm của bất phương trình $a x+b y<c$, nửa mặt phẳng còn lại (không kể $d$ ) là miền nghiệm của bất phương trình $a x+b y>c$.

- Các bước biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $a x+b y<c$ trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

+ Bước 1: Vẽ đường thẳng $d: ax+b y=c$. Đường thẳng $d$ chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng.

+ Bước 2: Lấy một điểm $M\left(x_0 ; y_0\right)$ không nằm trên $d$ (ta thường lấy gốc tọa độ $O$ nếu $c \neq 0$ ).

Tính $a x_0+b y_0$ và so sánh với $c$.

+ Bước 3: Kết luận

- Nếu $a x_0+b y_0<c$ thì nửa mặt phẳng (không kể $d$ ) chứa điểm $M$ là nghiệm của bất phương trình $a x+b y<c$

- Nếu $a x_0+b y_0>c$ thì nửa mặt phẳng (không kể $d$ ) không chứa điểm $M$ là nghiệm của bất phương trình $a x+b y<c$.

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$. Mỗi nghiệm chung của các bất phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đó.

- Miền nghiệm của hệ bất phương trình là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

- Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta làm như sau:

+ Trong cùng một mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bằng cách gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó.

+ Phần không bị gạch là miền nghiệm cần tìm.

- Để tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức dạng $F=a x+b y$ trong đó $x, y$ là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ mà nghiệm của hệ đó là một miền đa giác, ta làm như sau:

+ Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (là một miền đa giác).

+ Bước 2: Xác định tọa độ các đỉnh của đa giác.

+ Bước 3: Tính giá trị của biểu thức $F=a x+b y$ tại cặp số $(x, y)$ là tọa độ các đỉnh của đa giác rồi so sánh các giá trị đó. Từ đó, kết luận được giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất cần tìm.

Một số dạng bài tập về bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Dạng 1. Nhận biết bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải.

Ví dụ: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

a) $2 x+3 y>6$

b) $2^2 x+y \leq 0$

c) $2 x^2-y \geq 1$.

Bài giải

a) $2 x+3 y>6$ là bất phương trình bậc nhất 2 ẩn. Với $a=2 ; b=3 ; c=6$.

b) $2^2 x+y \leq 0 \Leftrightarrow 4 x+y \leq 0$ là bất phương trình bậc nhất 2 ẩn. Với $4=2 ; b=1 ; c=0$.

c) $2 x^2-y \geq 1$ không phải là bất phương trình bậc nhất 2 ẩn. Vì chứa $x^2$ ( bậc hai )

Dạng 2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp giải: Các bước biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $a x+b y<c$ trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

+ Bước 1: Vẽ đường thẳng $d: ax+b y=c$. Đường thẳng $d$ chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng.

+ Bước 2: Lấy một điểm $M\left(x_0 ; y_0\right)$ không nằm trên $d$ (ta thường lấy gốc tọa độ $O$ nếu $c \neq 0$ ).

Tính $a x_0+b y_0$ và so sánh với $c$.

+ Bước 3: Kết luận

- Nếu $a x_0+b y_0<c$ thì nửa mặt phẳng (không kể $d$ ) chứa điểm $M$ là nghiệm của bất phương trình $a x+b y<c$

- Nếu $a x_0+b y_0>c$ thì nửa mặt phẳng (không kể $d$ ) không chứa điểm $M$ là nghiệm của bất phương trình $a x+b y<c$.

Ví dụ: Xác định miền nghiệm của bất phương trình : $2 x-y \geq 0$.

Bài giải

Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng $d: 2 x-y=0$.

Ta có $d$ chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.

Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm $M(1; 0)$.

Ta thấy $(1 ; 0)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ $(d)$ và chứa điểm $M(1;0)$ (Miền không được tô màu trên hình vẽ).

Dạng 3. Ứng dụng của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong toán thực tế

Ví dụ: Ông An muốn thuê một chiếc xe ô-tô ( có lái xe ) trong một tuần. Giá thuê xe được cho như bảng sau:

a) Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số kilomet ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối tuần. Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa $x$ và $y$ sao cho tổng số tiền ông An phải trả không quá 14 triệu đồng.

b) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng tọa độ.

Bài giải

a) Từ thứ Hai đến thứ Sáu. $1 km$ di chuyển có chi phí là 8000 ( đồng ). Ông An đi hết $x(km)$, vậy ông An sẽ tốn chi phí là: $8000 x$ ( đồng ).

Tương tự : Vào hai ngày cuối tuần, Ông An đi hết $y(\mathrm{~km})$, vậy ông An sẽ tốn chi phí là: $10000 y$ ( đồng ).

Vậy tổng số tiền ông An phải chi là: $8000 x+10000 y$.

Theo bài ra ta có: $8000 x+10000 y \leq 14.000 .000 \Leftrightarrow 4 x+5 y \leq 7000$

b) Biểu diễn miền nghiệm của BPT ở câu a trên mặt phẳng tọa độ.

Dạng 4. Xác định hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ: Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ BPT bậc nhất hai ẩn?

a) $\left\{\begin{array}{l}x<0 \\ y \geq 0\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}x+y^2<0 \\ y-x>1\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{r}x+y+z<0 \\ y \quad<0\end{array}\right.$

d) $\left\{\begin{array}{l}-2 x+y<3^2 \\ 4^2 x+3 y<1\end{array}\right.$

Bài giải

Ta có:

a) $\left\{\begin{array}{l}x<0 \\ y \geq 0\end{array}\right.$

d) $\left\{\begin{array}{l}-2 x+y<3^2 \\ 4^2 x+3 y<1\end{array}\right.$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) $\left\{\begin{array}{l}x+y^2<0 \\ y-x>1\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{c}x+y+z<0 \\ y \quad<0\end{array}\right.$ không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì:

$\left\{\begin{array}{l}x+y^2<0 \\ y-x>1\end{array}\right.$ chứa biến bậc hai $y^2 ;\left\{\begin{array}{c}x+y+z<0 \\ y \quad<0\end{array}\right.$ chứa 3 ẩn $x ; y ; z$

Dạng 5. Biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình hai ẩn $\left\{\begin{array}{l}3 x+y \leq 6 \\ x+y \leq 4 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0\end{array}\right.$

Bài giải

Vẽ các đường thẳng $\left(d_1\right): 3 x+y=6$ và $\left(d_2\right): x+y=4$.

- Lấy điểm $M_0(1 ; 1)$. Ta thấy tọa độ của $M_0$ thỏa mãn cả bốn bất phương trình trong hệ.

- Miền không bị gạch (miền tứ giác $O A I C$, kể cả bốn cạnh của nó, với $A(2 ; 0), I(1 ; 3)$ và $C(0 ; 4)$, chứa điểm $\left.M_0\right)$ là miền

Dạng 6. Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong bài toán thực tiễn

Ví dụ: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kg thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kg thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chi mua nhiều nhất $1,6 kg$ thịt bò và $1,1 kg$ thịt lợn, giá tiền mỗi kg thịt bò là 250.000 đồng, giá tiền mỗi kg thịt lợn là 85.000 đồng. Hói chi phí it nhất để mua thịt mỗi ngày của gia đình đó là bao nhiêu?

Bài giải

Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó mua mỗi ngày. Khi đó $x$ và $y$ phải thỏa mãn hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}8 x+6 y \geq 9 \\ 2 x+4 y \geq 4 \\ 0 \leq x \leq 1,6 \\ 0 \leq y \leq 1,1\end{array}\right.$.

Lượng tiền để mua thịt là: $T=250 x+85 y$ (nghìn đồng).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác $A B C D$ với $A(0,6 ; 0,7), B(1,6 ; 0,2), C(1,6 ; 1,1)$ và $D=(0,3 ; 1,1)$.

Tính giá trị của $T=250 x+85 y$ tại các đỉnh A; B; C; D. Ta có: chi phí mua thịt ít nhất là 168.500 đồng.

Học là Giỏi mong rằng với việc hệ thống kiến thức và các dạng bài tập trọng tâm ở trên sẽ giúp các em giải quyết được phần bài tập về bất phương trình và hệ bất phương trình một cách dễ dàng hơn. Chúc các bạn thành công!