Tóm tắt kiến thức về bất đẳng thức tam giác

Bất đẳng thức tam giác

Định lý bất đẳng thức tam giác là một khái niệm quan trọng trong hình học, giúp chúng ta hiểu rõ về quan hệ giữa các cạnh của tam giác. Bất đẳng thức này cho phép ta biết rằng tổng độ dài hai cạnh bất kỳ luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại. Đây là một công thức mà chúng ta cần nhớ để giải quyết các bài tập hình học một cách dễ dàng và chính xác.

Định lý: Tổng độ dài hai cạnh bất kỳ trong một tam giác luôn luôn lớn hơn độ dài của cạnh còn lại.

Áp dụng vào tam giác ABC, ta có các bất đẳng thức sau:

AB + AC > BC hay b + c > a

AB + BC > AC hay c + a > b

AC + BC > AB hay b + a > c

Hệ quả bất đẳng thức trong tam giác

Hệ quả: Trong một tam giác bất kỳ, hiệu độ dài hai cạnh luôn luôn nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.

Nhận xét: Nếu đồng thời xét cả tổng và hiệu độ dài hai cạnh của một tam giác thì ta có thể phát biểu quan hệ giữa các cạnh của nó như sau:

Trong một tam giác, độ dài một cạnh bất kỳ lúc nào cũng nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu các độ dài của hai cạnh còn lại.

Ví dụ: Trong tam giác ABC, xét mối quan hệ giữa cạnh BC và hai cạnh còn lại, ta có:

|AC – AB| < BC < AC + AB hay |b – c| < a < b + c

Các dạng bài tập về bất đẳng thức tam giác

Dạng 1. Xác định ba độ dài bất kỳ có thể tạo thành một tam giác không?

Phương pháp giải

Tồn tại một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c nếu |b – c| < a < b + c

Nếu từ giả thiết ta xác định được a là số lớn nhất trong ba số a, b, c đã cho thì điều kiện để tồn tại một tam giác là a < b + c

Dạng 2. Chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác và các phép biến đổi tương đương. Một số phép biến đổi thường được sử dụng là:

Cộng cùng một số và hai vế của bất đẳng thức: a > b => a+ c > b + c

Cộng vế với vế tương ứng của hai bất đẳng thức cùng chiều:

a < d

c < d

⇔ a + c < b + d.

Dạng 3. Tìm GTNN của tổng hai độ dài

Phương pháp giải

Với ba điểm M, B, C bất kì ta có: BM + MC ≥ BC. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi điểm M nằm trên đoạn thẳng BC.

Như vậy, nếu độ dài đoạn BC không đổi thì tổng BM + MC có giá trị nhỏ nhất bằng độ dài đoạn BC khi và chỉ khi M thuộc đoạn BC.

Dạng 4. Bài toán thực tế

Ví dụ: Một khu dân cư và một trạm biến áp được xây dựng tại hai địa điểm A và B cách xa nhau ở hai bờ sông. Hãy tìm một địa điểm C trên bờ sông gần khu dân cư để xây dựng một cột điện đưa điện từ trạm biến áp về khu dân cư, sao cho độ dài đường dây điện cần dùng là ngắn nhất.

Lời giải

Để độ dài đường dây là ngắn nhất thì C nằm trên đoạn thẳng AB, tức là: AC + BC = AB

Vì trong trường hợp điểm C nằm ngoài đoạn thẳng AB thì ba điểm A, B, C sẽ tạo thành một tam giác. Khi đó, theo định lý tổng hai cạnh trong tam giác ta có:

AC + BC > AB

Do đó: AC + BC ngắn nhất khi C nằm giữa A và B.

Vậy vị trí đặt cây cột mắc dây điện từ trạm về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây ngắn nhất chính là điểm C nằm giữa A và B.

Xem thêm:

Tổng hợp lí thuyết về bất đẳng thức Cosi

Tổng hợp kiến thức về bất đẳng thức Bunhiacopxki

Kết luận

Trên đây là tóm tắt kiến thức về bất đẳng thức tam giác. Học là Giỏi mong rằng, nó sẽ gợi ý cho các bạn cách hệ thống kiến thức sáng tạo và đẹp theo cách của riêng mình, biến các công thức khô khan trở nên sinh động hơn, từ đó giúp chúng mình nhớ và áp dụng giải được các bài toán tính đạo hàm trong chương trình toán phổ thông nhé.