Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức
Thứ ba, 12/11/2024 03:21 AM
Tác giả: Admin Hoclagioi
Dạng phương trình quy về phương trình bậc hai sẽ biến những dạng phức tạp hơn như phương trình trùng phương, phương trình chứa căn thức, phương trình tích, hay chứa ẩn ở mẫu thành dạng bậc hai. Trong bài viết này, gia sư online Học là Giỏi sẽ khám phá từng loại phương trình bằng phương pháp quy về phương trình bậc hai nhé.
Mục lục [Ẩn]
Phương trình trùng phương thường có dạng (a≠0), và ta nhận thấy rằng biến số xuất hiện ở bậc 4 và bậc 2.
Để giải phương trình này, một mẹo thường dùng là đặt . Phương trình lúc này sẽ biến thành dạng bậc hai theo biến t:
(a≠0)
Khi giải xong ta chỉ cần thay ngược lại là xong. Với cách này, những phương trình trùng phương phức tạp dễ dàng được giải quyết.
Đây là dạng phương trình mà biến số xuất hiện trong mẫu, có thể gây khó khăn nếu không biết xử lý.
Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Để xử lý phương trình chứa ẩn trong mẫu, ta có thể thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình, tức là tìm những giá trị của ẩn làm cho mẫu không bằng 0.
Bước 2: Khử mẫu bằng cách quy đồng mẫu ở cả hai vế của phương trình, từ đó loại bỏ được mẫu thức.
Bước 3: Giải phương trình sau khi đã khử mẫu để tìm ra các nghiệm của ẩn.
Bước 4: So sánh các nghiệm vừa tìm được với điều kiện xác định ở bước đầu để loại bỏ những nghiệm làm cho mẫu bằng 0 và đưa ra kết luận.
Việc tìm điều kiện xác định ngay từ đầu là cực kỳ quan trọng, vì ẩn xuất hiện trong mẫu chưa được đảm bảo khác 0. Đây là yêu cầu bắt buộc để phân thức có nghĩa, và quá trình này giúp loại bỏ các giá trị khiến mẫu thức bằng 0, đảm bảo phương trình tồn tại nghiệm đúng.
Ví dụ, phương trình có dạng:
Phương trình tích là phương trình mà các biểu thức chứa biến được nhân với nhau bằng 0, có dạng:
A(x).B(x) = 0
Trong đó A(x) và B(x) đều là đa thức ẩn x.
Trong toán học, nếu một tích bằng 0, thì ít nhất một trong hai nhân tử phải bằng 0. Do đó, để giải phương trình này, ta chỉ cần giải hai phương trình riêng biệt: A(x)=0 và B(x)=0. Cách này thường giúp một phương trình nâng cao thành hai phương trình bậc hai hoặc thấp hơn, và từ đó ta dễ dàng tìm ra nghiệm của nó.
Phương pháp giải phương trình dạng tích
Để giải một phương trình dạng tích, bạn có thể làm theo các bước sau:
Bước 1: Phân tích biểu thức ở vế trái thành các nhân tử sao cho vế phải bằng 0.
Bước 2: Lần lượt đặt từng nhân tử bằng 0 và giải từng phương trình để tìm nghiệm.
Ví dụ: Giải phương trình A(x)⋅B(x)=0 ⇔A(x)=0 hoặc B(x)=0
Phương trình chứa căn thức có lẽ là loại phương trình gây cản trở nhất đối với nhiều bạn, vì căn thức luôn tạo ra cảm giác khó khăn. Phương trình có dạng:
Phương pháp giải phương trình chứa căn thức
Khi giải phương trình có chứa căn thức, việc đầu tiên chúng ta phải làm là tìm điều kiện để căn thức có nghĩa. Điều này có nghĩa là chúng ta cần xác định khoảng giá trị của x sao cho f(x)≥0
Dưới đây là ba bước chính để giải loại phương trình này:
Bước 1: Xác định điều kiện của x để f(x)≥0 và g(x)≥0 (nếu có nhiều căn thức trong phương trình).
Bước 2: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn thức, rồi rút gọn phương trình.
Bước 3: Giải phương trình thu được để tìm x, sau đó kiểm tra các nghiệm có thỏa mãn điều kiện ban đầu hay không, rồi kết luận nghiệm cuối cùng.
Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.
Bài 1: Cho phương trình bậc hai (với x là ẩn số, m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện .
Xét phương trình:
Ta có .
Tính :
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần:
Áp dụng định lý Viète, ta có:
Theo yêu cầu của đề bài, ta có:
Thay các giá trị từ định lý Viète vào, ta được:
Vậy khi m=−2, phương trình có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện .
Bài 2: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Xét phương trình:
Phương trình này tương đương với:
Do đó:
Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt, thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
Xét phương trình (1):
Tính Δ:
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, ta cần:
Đồng thời, để 2 nghiệm của phương trình này khác 1, ta có điều kiện:
Kết hợp hai điều kiện, ta có:
Vậy khi và , phương trình sẽ có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 3: Cho phương trình bậc hai:
(với m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu và có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
Xét phương trình bậc hai:
Ta có: .
Tính :
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần:
Để hai nghiệm của phương trình có dấu trái ngược, tích hai nghiệm phải âm:
Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu, ta cần tích của hai nghiệm dương:
Kết hợp các điều kiện:
Khi −2<m<2, phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
Khi m>2 hoặc , phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
Khi đã hiểu rõ cách nhận diện và áp dụng phương trình quy về phương trình bậc hai, bạn sẽ thấy rằng những phương trình có thể giải quyết nhanh chóng và dễ dàng. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng rằng qua những kiến thức này, bạn đã nắm bắt hơn về lý thuyết và sẵn sàng đối mặt với các bài toán nâng cao hơn trong tương lai.
Đăng ký học thử ngay hôm nay
Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!
Khóa học liên quan
Đánh giá năng lực miễn phí - Toán lớp 11
›
Khóa học tốt trên lớp - Toán lớp 11
›
Khóa luyện thi cấp tốc - Toán lớp 11
›
Khóa Tổng ôn hè - Toán lớp 11
›
Đánh giá năng lực miễn phí - Toán lớp 10
›
Đăng ký học thử ngay hôm nay
Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!
Bài viết liên quan
Thứ ba, 26/11/2024 09:39 AM
Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất của tứ giác nội tiếp
Tứ giác nội tiếp là một trong những khái niệm quan trọng trong hình học lớp 9, đặc biệt khi tìm hiểu về các mối quan hệ giữa các điểm và đường tròn. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá tứ giác nội tiếp này là gì và chúng có các tính chất như thế nào nhé.
Thứ ba, 26/11/2024 04:35 AM
Khám phá lý thuyết về cung chứa góc toán 9
Khái niệm cung chứa góc ở trong toán lớp 9 đóng vai trò quan trọng khi tìm hiểu các tính chất và bài toán liên quan đến hình tròn. Cùng gia sư online Học là Giỏi đi sâu vào khái niệm và tính chất về cung chứa góc của đường tròn nhé.
Thứ hai, 25/11/2024 09:30 AM
Tìm hiểu góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, bên ngoài đường tròn
Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn hoặc bên ngoài đường tròn mang đến những đặc điểm và tính chất riêng. Việc tìm hiểu về các loại góc này hỗ trợ rất nhiều trong việc giải quyết các bài toán hình học phức tạp. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá những khái niệm và định lý về góc có đỉnh nằm bên trong và bên ngoài đường tròn nhé.
Thứ sáu, 22/11/2024 09:18 AM
Chinh phục kiến thức về góc nội tiếp
Trong hình tròn, góc nội tiếp là một chủ đề cơ bản khi chúng có nhiều tính chất cần lưu ý trong hình học phẳng. Đây là khái niệm giúp chúng ta hiểu thêm các định lý liên quan đến đường tròn. Cùng gia sư online Học là Giỏi tìm hiểu về góc nội tiếp có gì đặc biệt và những nội dung quan trọng trong bài học này nhé.
Thứ ba, 19/11/2024 10:06 AM
Khám phá mối liên hệ giữa cung và dây
Mối liên hệ giữa cung và dây cung của đường tròn là chủ đề quan trọng trong chương trình hình học lớp 9. Dù chúng ta đã quá quen thuộc với hình ảnh những đường tròn, ít ai biết rằng cung và dây cung tạo sự liên kết mật thiết trong hình tròn. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi tìm hiểu rõ mối quan hệ này có gì đặc biệt nhé.
Thứ hai, 18/11/2024 10:07 AM
Tổng hợp kiến thức vị trí tương đối của hai đường tròn
Vị trí tương đối của hai đường tròn là kiến thức quan trọng để xét các tính chất của 2 đường tròn này có mối quan hệ gì với nhau. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá các trường hợp cơ bản về vị trí tương đối của hai đường tròn này nhé.