Giải mã dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Phương trình trùng phương

Phương trình trùng phương thường có dạng $a{x}^4+b{x}^2+c=0$ (a≠0), và ta nhận thấy rằng biến số xuất hiện ở bậc 4 và bậc 2. 

Để giải phương trình này, một mẹo thường dùng là đặt $t=x^2$. Phương trình lúc này sẽ biến thành dạng bậc hai theo biến t: 

$a{t}^2+bt+c=0$ (a≠0)

Khi giải xong ta chỉ cần thay ngược lại $x^2=t$ là xong. Với cách này, những phương trình trùng phương phức tạp dễ dàng được giải quyết.

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Đây là dạng phương trình mà biến số xuất hiện trong mẫu, có thể gây khó khăn nếu không biết xử lý. 

Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Để xử lý phương trình chứa ẩn trong mẫu, ta có thể thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình, tức là tìm những giá trị của ẩn làm cho mẫu không bằng 0.

Bước 2: Khử mẫu bằng cách quy đồng mẫu ở cả hai vế của phương trình, từ đó loại bỏ được mẫu thức.

Bước 3: Giải phương trình sau khi đã khử mẫu để tìm ra các nghiệm của ẩn.

Bước 4: So sánh các nghiệm vừa tìm được với điều kiện xác định ở bước đầu để loại bỏ những nghiệm làm cho mẫu bằng 0 và đưa ra kết luận.

Việc tìm điều kiện xác định ngay từ đầu là cực kỳ quan trọng, vì ẩn xuất hiện trong mẫu chưa được đảm bảo khác 0. Đây là yêu cầu bắt buộc để phân thức có nghĩa, và quá trình này giúp loại bỏ các giá trị khiến mẫu thức bằng 0, đảm bảo phương trình tồn tại nghiệm đúng.

Ví dụ, phương trình có dạng:

$\frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} = 3$

Phương trình tích

Phương trình tích là phương trình mà các biểu thức chứa biến được nhân với nhau bằng 0, có dạng:

A(x).B(x) = 0

Trong đó A(x) và B(x) đều là đa thức ẩn x.

Trong toán học, nếu một tích bằng 0, thì ít nhất một trong hai nhân tử phải bằng 0. Do đó, để giải phương trình này, ta chỉ cần giải hai phương trình riêng biệt: A(x)=0 và B(x)=0. Cách này thường giúp một phương trình nâng cao thành hai phương trình bậc hai hoặc thấp hơn, và từ đó ta dễ dàng tìm ra nghiệm của nó.

Phương pháp giải phương trình dạng tích

Để giải một phương trình dạng tích, bạn có thể làm theo các bước sau:

Bước 1: Phân tích biểu thức ở vế trái thành các nhân tử sao cho vế phải bằng 0.

Bước 2: Lần lượt đặt từng nhân tử bằng 0 và giải từng phương trình để tìm nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình A(x)⋅B(x)=0 ⇔A(x)=0 hoặc B(x)=0

Phương trình chứa căn thức

Phương trình chứa căn thức có lẽ là loại phương trình gây cản trở nhất đối với nhiều bạn, vì căn thức luôn tạo ra cảm giác khó khăn. Phương trình có dạng:

$\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right)$

Phương pháp giải phương trình chứa căn thức

Khi giải phương trình có chứa căn thức, việc đầu tiên chúng ta phải làm là tìm điều kiện để căn thức có nghĩa. Điều này có nghĩa là chúng ta cần xác định khoảng giá trị của x sao cho f(x)≥0

Dưới đây là ba bước chính để giải loại phương trình này:

Bước 1: Xác định điều kiện của x để f(x)≥0 và g(x)≥0 (nếu có nhiều căn thức trong phương trình).

Bước 2: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn thức, rồi rút gọn phương trình.

Bước 3: Giải phương trình thu được để tìm x, sau đó kiểm tra các nghiệm có thỏa mãn điều kiện ban đầu hay không, rồi kết luận nghiệm cuối cùng.

Bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai

Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho phương trình bậc hai $x^2 - 2mx + 4m - 4 = 0$ (với x là ẩn số, m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện $3(x_1 + x_2) = x_1 \cdot x_2$.

Giải

Xét phương trình:

$x^2 - 2mx + 4m - 4 = 0$

Ta có $b' = m$.

Tính $\Delta'$:

$\Delta' = (-m)^2 - 1 \cdot (4m - 4) = m^2 - 4m + 4 = (m - 2)^2$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần:

$\Delta' > 0 \Rightarrow (m - 2)^2 > 0 \Rightarrow m \neq 2$

Áp dụng định lý Viète, ta có:

$x_1 + x_2 = 2m$

$x_1 \cdot x_2 = 4m - 4$

Theo yêu cầu của đề bài, ta có:

$3(x_1 + x_2) = x_1 \cdot x_2$

Thay các giá trị từ định lý Viète vào, ta được:

$3 \cdot 2m = 4m - 4$

$6m = 4m - 4$

 $2m = -4$

 $m = -2$

Vậy khi m=−2, phương trình $x^2 - 2mx + 4m - 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$​ và $x_2$​ thỏa mãn điều kiện $3(x_1 + x_2) = x_1 \cdot x_2$​.

Bài 2: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình $(x^2 - 3x + m)(x - 1) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt

Giải

Xét phương trình:

$(x^2 - 3x + m)(x - 1) = 0$

Phương trình này tương đương với:

$\begin{cases} x - 1 = 0 \\ x^2 - 3x + m = 0 \end{cases}$

Do đó:

$x=1 \text{hoặc}{x}^2-3x+m=0$

Để phương trình $(x^2 - 3x + m)(x - 1) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt, thì phương trình $x^2 - 3x + m = 0$ (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

Xét phương trình (1):

$x^2 - 3x + m = 0$

Tính Δ:

$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 9 - 4m$

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, ta cần:

$\Delta > 0 \Rightarrow 9 - 4m > 0 \Rightarrow m < \frac{9}{4}$

Đồng thời, để 2 nghiệm của phương trình này khác 1, ta có điều kiện:

$1^2 - 3 \cdot 1 + m \neq 0$

 $1 - 3 + m \neq 0 \Rightarrow m \neq 2$

Kết hợp hai điều kiện, ta có:

$m<\frac{9}{4} và m\ne 2$

Vậy khi $m < \frac{9}{4}$​ và $m \neq 2$, phương trình $(x^2 - 3x + m)(x - 1) = 0$ sẽ có 3 nghiệm phân biệt.

Bài tập nâng cao

Bài 3: Cho phương trình bậc hai:

$x^2 - 2(m + 7)x + m^2 - 4 = 0$

(với m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu và có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

Giải

Xét phương trình bậc hai:

$x^2 - 2(m + 7)x + m^2 - 4 = 0$

Ta có: $b' = m + 7$.

Tính $\Delta'$:

$\Delta' = (m + 7)^2 - 1 \cdot (m^2 - 4) = m^2 + 14m + 49 - m^2 + 4 = 14m + 53$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần:

$\Delta' > 0 \Rightarrow 14m + 53 > 0 \Rightarrow m > -\frac{53}{14}$

Điều Kiện Để Phương Trình Có Hai Nghiệm Trái Dấu

Để hai nghiệm của phương trình có dấu trái ngược, tích hai nghiệm phải âm:

$x_1 \cdot x_2 = m^2 - 4 < 0$

 $\Rightarrow m^2 < 4 \Rightarrow -2 < m < 2$

Điều Kiện Để Phương Trình Có Hai Nghiệm Cùng Dấu

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu, ta cần tích của hai nghiệm dương:

$x_1 \cdot x_2 = m^2 - 4 > 0$

 $\Rightarrow m^2>4\Rightarrow m>2 \text{hoặc}m<-2$

Kết Luận

Kết hợp các điều kiện:

Khi −2<m<2, phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Khi m>2 hoặc $-\frac{53}{14} < m < -2$, phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

Kết luận

Khi đã hiểu rõ cách nhận diện và áp dụng phương trình quy về phương trình bậc hai, bạn sẽ thấy rằng những phương trình có thể giải quyết nhanh chóng và dễ dàng. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng rằng qua những kiến thức này, bạn đã nắm bắt hơn về lý thuyết và sẵn sàng đối mặt với các bài toán nâng cao hơn trong tương lai.