Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức

Giải mã dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

schedule.svg

Thứ ba, 12/11/2024 03:21 AM

Tác giả: Admin Hoclagioi

Dạng phương trình quy về phương trình bậc hai sẽ biến những dạng phức tạp hơn như phương trình trùng phương, phương trình chứa căn thức, phương trình tích, hay chứa ẩn ở mẫu thành dạng bậc hai. Trong bài viết này, gia sư online Học là Giỏi sẽ khám phá từng loại phương trình bằng phương pháp quy về phương trình bậc hai nhé.

Mục lục [Ẩn]

Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Phương trình trùng phương

Phương trình trùng phương thường có dạng ax4+bx2+c=0 (a≠0), và ta nhận thấy rằng biến số xuất hiện ở bậc 4 và bậc 2. 

Để giải phương trình này, một mẹo thường dùng là đặt t=x2. Phương trình lúc này sẽ biến thành dạng bậc hai theo biến t: 

at2+bt+c=0 (a≠0)

Khi giải xong ta chỉ cần thay ngược lại x2=t là xong. Với cách này, những phương trình trùng phương phức tạp dễ dàng được giải quyết.

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Đây là dạng phương trình mà biến số xuất hiện trong mẫu, có thể gây khó khăn nếu không biết xử lý. 

Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Để xử lý phương trình chứa ẩn trong mẫu, ta có thể thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình, tức là tìm những giá trị của ẩn làm cho mẫu không bằng 0.

Bước 2: Khử mẫu bằng cách quy đồng mẫu ở cả hai vế của phương trình, từ đó loại bỏ được mẫu thức.

Bước 3: Giải phương trình sau khi đã khử mẫu để tìm ra các nghiệm của ẩn.

Bước 4: So sánh các nghiệm vừa tìm được với điều kiện xác định ở bước đầu để loại bỏ những nghiệm làm cho mẫu bằng 0 và đưa ra kết luận.

Việc tìm điều kiện xác định ngay từ đầu là cực kỳ quan trọng, vì ẩn xuất hiện trong mẫu chưa được đảm bảo khác 0. Đây là yêu cầu bắt buộc để phân thức có nghĩa, và quá trình này giúp loại bỏ các giá trị khiến mẫu thức bằng 0, đảm bảo phương trình tồn tại nghiệm đúng.

Ví dụ, phương trình có dạng:

1x+2x+1=3\frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} = 3

Phương trình tích

Phương trình tích là phương trình mà các biểu thức chứa biến được nhân với nhau bằng 0, có dạng:

A(x).B(x) = 0

Trong đó A(x) và B(x) đều là đa thức ẩn x.

Trong toán học, nếu một tích bằng 0, thì ít nhất một trong hai nhân tử phải bằng 0. Do đó, để giải phương trình này, ta chỉ cần giải hai phương trình riêng biệt: A(x)=0 và B(x)=0. Cách này thường giúp một phương trình nâng cao thành hai phương trình bậc hai hoặc thấp hơn, và từ đó ta dễ dàng tìm ra nghiệm của nó.

Phương pháp giải phương trình dạng tích

Để giải một phương trình dạng tích, bạn có thể làm theo các bước sau:

Bước 1: Phân tích biểu thức ở vế trái thành các nhân tử sao cho vế phải bằng 0.

Bước 2: Lần lượt đặt từng nhân tử bằng 0 và giải từng phương trình để tìm nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình A(x)⋅B(x)=0 ⇔A(x)=0 hoặc B(x)=0

Phương trình chứa căn thức

Phương trình chứa căn thức có lẽ là loại phương trình gây cản trở nhất đối với nhiều bạn, vì căn thức luôn tạo ra cảm giác khó khăn. Phương trình có dạng:

f(x)=g(x)

Phương pháp giải phương trình chứa căn thức

Khi giải phương trình có chứa căn thức, việc đầu tiên chúng ta phải làm là tìm điều kiện để căn thức có nghĩa. Điều này có nghĩa là chúng ta cần xác định khoảng giá trị của x sao cho f(x)≥0

Dưới đây là ba bước chính để giải loại phương trình này:

Bước 1: Xác định điều kiện của x để f(x)≥0 và g(x)≥0 (nếu có nhiều căn thức trong phương trình).

Bước 2: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn thức, rồi rút gọn phương trình.

Bước 3: Giải phương trình thu được để tìm x, sau đó kiểm tra các nghiệm có thỏa mãn điều kiện ban đầu hay không, rồi kết luận nghiệm cuối cùng.

Bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai

Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho phương trình bậc hai x22mx+4m4=0x^2 - 2mx + 4m - 4 = 0 (với x là ẩn số, m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện 3(x1+x2)=x1x23(x_1 + x_2) = x_1 \cdot x_2.

Giải

Xét phương trình:

x22mx+4m4=0x^2 - 2mx + 4m - 4 = 0

Ta có b=mb' = m.

Tính Δ\Delta':

Δ=(m)21(4m4)=m24m+4=(m2)2\Delta' = (-m)^2 - 1 \cdot (4m - 4) = m^2 - 4m + 4 = (m - 2)^2

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần:

Δ>0(m2)2>0m2\Delta' > 0 \Rightarrow (m - 2)^2 > 0 \Rightarrow m \neq 2

Áp dụng định lý Viète, ta có:

x1+x2=2mx_1 + x_2 = 2m

x1x2=4m4x_1 \cdot x_2 = 4m - 4

Theo yêu cầu của đề bài, ta có:

3(x1+x2)=x1x23(x_1 + x_2) = x_1 \cdot x_2

Thay các giá trị từ định lý Viète vào, ta được:

32m=4m43 \cdot 2m = 4m - 4

6m=4m46m = 4m - 4

 2m=42m = -4

 m=2m = -2

Vậy khi m=−2, phương trình x22mx+4m4=0x^2 - 2mx + 4m - 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1x_1​ và x2x_2​ thỏa mãn điều kiện 3(x1+x2)=x1x23(x_1 + x_2) = x_1 \cdot x_2​.

Bài 2: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình (x23x+m)(x1)=0(x^2 - 3x + m)(x - 1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Giải

Xét phương trình:

(x23x+m)(x1)=0(x^2 - 3x + m)(x - 1) = 0

Phương trình này tương đương với:

{x1=0x23x+m=0\begin{cases} x - 1 = 0 \\ x^2 - 3x + m = 0 \end{cases}

Do đó:

x=1  hoặc  x23x+m=0

Để phương trình (x23x+m)(x1)=0(x^2 - 3x + m)(x - 1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt, thì phương trình x23x+m=0x^2 - 3x + m = 0 (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

Xét phương trình (1):

x23x+m=0x^2 - 3x + m = 0

Tính Δ:

Δ=(3)241m=94m\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 9 - 4m

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, ta cần:

Δ>094m>0m<94\Delta > 0 \Rightarrow 9 - 4m > 0 \Rightarrow m < \frac{9}{4}

Đồng thời, để 2 nghiệm của phương trình này khác 1, ta có điều kiện:

1231+m01^2 - 3 \cdot 1 + m \neq 0

 13+m0m21 - 3 + m \neq 0 \Rightarrow m \neq 2

Kết hợp hai điều kiện, ta có:

m<94  và m2

Vậy khi m<94m < \frac{9}{4}​ và m2m \neq 2, phương trình (x23x+m)(x1)=0(x^2 - 3x + m)(x - 1) = 0 sẽ có 3 nghiệm phân biệt.

Bài tập nâng cao

Bài 3: Cho phương trình bậc hai:

x22(m+7)x+m24=0x^2 - 2(m + 7)x + m^2 - 4 = 0

(với m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu và có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

Giải

Xét phương trình bậc hai:

x22(m+7)x+m24=0x^2 - 2(m + 7)x + m^2 - 4 = 0

Ta có: b=m+7b' = m + 7.

Tính Δ\Delta':

Δ=(m+7)21(m24)=m2+14m+49m2+4=14m+53\Delta' = (m + 7)^2 - 1 \cdot (m^2 - 4) = m^2 + 14m + 49 - m^2 + 4 = 14m + 53

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần:

Δ>014m+53>0m>5314\Delta' > 0 \Rightarrow 14m + 53 > 0 \Rightarrow m > -\frac{53}{14}

Điều Kiện Để Phương Trình Có Hai Nghiệm Trái Dấu

Để hai nghiệm của phương trình có dấu trái ngược, tích hai nghiệm phải âm:

x1x2=m24<0x_1 \cdot x_2 = m^2 - 4 < 0

 m2<42<m<2\Rightarrow m^2 < 4 \Rightarrow -2 < m < 2

Điều Kiện Để Phương Trình Có Hai Nghiệm Cùng Dấu

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu, ta cần tích của hai nghiệm dương:

x1x2=m24>0x_1 \cdot x_2 = m^2 - 4 > 0

 m2>4m>2  hoặc  m<2

Kết Luận

Kết hợp các điều kiện:

Khi −2<m<2, phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Khi m>2 hoặc 5314<m<2-\frac{53}{14} < m < -2, phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

Kết luận

Khi đã hiểu rõ cách nhận diện và áp dụng phương trình quy về phương trình bậc hai, bạn sẽ thấy rằng những phương trình có thể giải quyết nhanh chóng và dễ dàng. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng rằng qua những kiến thức này, bạn đã nắm bắt hơn về lý thuyết và sẵn sàng đối mặt với các bài toán nâng cao hơn trong tương lai.

 

Chủ đề:

Đăng ký học thử ngay hôm nay

Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!

Đăng ký học thử ngay hôm nay

Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!

Lớp con đang học
Môn học quan tâm

Bài viết liên quan

Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất của tứ giác nội tiếp
schedule

Thứ ba, 26/11/2024 09:39 AM

Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất của tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp là một trong những khái niệm quan trọng trong hình học lớp 9, đặc biệt khi tìm hiểu về các mối quan hệ giữa các điểm và đường tròn. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá tứ giác nội tiếp này là gì và chúng có các tính chất như thế nào nhé.

Khám phá lý thuyết về cung chứa góc toán 9
schedule

Thứ ba, 26/11/2024 04:35 AM

Khám phá lý thuyết về cung chứa góc toán 9

Khái niệm cung chứa góc ở trong toán lớp 9 đóng vai trò quan trọng khi tìm hiểu các tính chất và bài toán liên quan đến hình tròn. Cùng gia sư online Học là Giỏi đi sâu vào khái niệm và tính chất về cung chứa góc của đường tròn nhé.

Tìm hiểu góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, bên ngoài đường tròn
schedule

Thứ hai, 25/11/2024 09:30 AM

Tìm hiểu góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, bên ngoài đường tròn

Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn hoặc bên ngoài đường tròn mang đến những đặc điểm và tính chất riêng. Việc tìm hiểu về các loại góc này hỗ trợ rất nhiều trong việc giải quyết các bài toán hình học phức tạp. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá những khái niệm và định lý về góc có đỉnh nằm bên trong và bên ngoài đường tròn nhé.

Chinh phục kiến thức về góc nội tiếp
schedule

Thứ sáu, 22/11/2024 09:18 AM

Chinh phục kiến thức về góc nội tiếp

Trong hình tròn, góc nội tiếp là một chủ đề cơ bản khi chúng có nhiều tính chất cần lưu ý trong hình học phẳng. Đây là khái niệm giúp chúng ta hiểu thêm các định lý liên quan đến đường tròn. Cùng gia sư online Học là Giỏi tìm hiểu về góc nội tiếp có gì đặc biệt và những nội dung quan trọng trong bài học này nhé.

Khám phá mối liên hệ giữa cung và dây
schedule

Thứ ba, 19/11/2024 10:06 AM

Khám phá mối liên hệ giữa cung và dây

Mối liên hệ giữa cung và dây cung của đường tròn là chủ đề quan trọng trong chương trình hình học lớp 9. Dù chúng ta đã quá quen thuộc với hình ảnh những đường tròn, ít ai biết rằng cung và dây cung tạo sự liên kết mật thiết trong hình tròn. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi tìm hiểu rõ mối quan hệ này có gì đặc biệt nhé.

Tổng hợp kiến thức vị trí tương đối của hai đường tròn
schedule

Thứ hai, 18/11/2024 10:07 AM

Tổng hợp kiến thức vị trí tương đối của hai đường tròn

Vị trí tương đối của hai đường tròn là kiến thức quan trọng để xét các tính chất của 2 đường tròn này có mối quan hệ gì với nhau. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá các trường hợp cơ bản về vị trí tương đối của hai đường tròn này nhé.

message.svg zalo.png