Đơn thức là gì? Các phép toán với đơn thức

Đơn thức là gì? Định nghĩa đơn thức

Đơn thức là một phần kiến thức cơ bản nhưng quan trọng trong các phép tính phức tạp, rất hữu ích khi giải các bài toán học nâng khó.

Định nghĩa đơn thức

Đơn thức là biểu thức đại số bao gồm một số, một biến hay tích của các hằng số và biến, trong đó các biến có số mũ là số nguyên không âm.

Ví dụ: 5$x^2$y; 3; 3xy;...

Ngoài ra số 0 sẽ được gọi là đơn thức không.

Điều kiện để một biểu thức được gọi là đơn thức:

Phải có hệ số và biến: Hệ số có thể là số nguyên, số thập phân, hoặc phân số; biến là ký hiệu đại diện cho giá trị số, như x, y, z…

Số mũ của biến phải là số nguyên không âm: Điều này có nghĩa là bạn không thể có các biến có số mũ âm hoặc số mũ là phân số.

Ví dụ, 3$x^2$, −4y, và 7a$b^3$ đều là đơn thức, nhưng $\frac{3}{x}$ hoặc 4$x^{-1}$ thì không phải vì có chứa số mũ âm hoặc biến ở mẫu số.

Đơn thức thu gọn

Đơn thức thu gọn giúp chúng ta đưa biểu thức phức tạp về dạng ngắn gọn và dễ nhìn hơn. Phần dưới đây sẽ giúp bạn hiểu rõ về đơn thức khái niệm này thu gọn.

Khái niệm “thu gọn” trong đơn thức

Khi nói đến thu gọn đơn thức, chúng ta đang nói về việc đưa một đơn thức từ dạng phức tạp về một biểu thức đơn giản nhất có thể. Quá trình này giúp bạn gom lại các phần giống nhau (như các biến cùng loại hoặc các hệ số) và tổ chức chúng một cách gọn gàng nhất. 

Đơn thức thu gọn là dạng đơn thức chỉ bao gồm tích của một số với các biến, trong đó mỗi biến đều được nâng lên một lũy thừa với số mũ là số nguyên không âm. Phần số này được gọi là hệ số, còn phần chứa các biến và lũy thừa của chúng được gọi là phần biến của đơn thức thu gọn.

Các bước cơ bản để thu gọn 

1. Nhóm các biến giống nhau: Trước tiên, bạn cần nhận diện các biến giống nhau và cộng chúng lại nếu cần. 

2. Cộng và nhân hệ số: Khi đã nhóm các biến, hãy thực hiện phép nhân hoặc cộng hệ số. 

3. Kiểm tra lại để đảm bảo không còn bước nào có thể thực hiện thêm: Sau khi đã nhóm các biến và nhân hệ số, hãy nhìn lại biểu thức để chắc chắn rằng không còn gì có thể đơn giản hóa thêm nữa.

Ví dụ minh họa

Giả sử ta có:

8$x^2$y⋅−3x$y^3$

Bước đầu tiên là nhóm các biến cùng loại lại: x và y.

Nhân các hệ số 8.(−3)=−24.

Cộng số mũ của các biến giống nhau: $x^{2+1}$ và $y^{1+3}$.

Kết quả cuối cùng là:

−24$x^3{y}^4$

Bậc của đơn thức

Bậc của đơn thức cho thấy mức độ phức tạp của biểu thức. Bậc của một đơn thức chính là tổng số mũ của tất cả các biến trong đơn thức đó. 

Ví dụ:

+ Với 5$x^3{y}^2$, bậc sẽ là 3+2=5.

+ Nếu chỉ có một biến 4$z^6$, bậc của đơn thức đó đơn giản là 6.

Các bước xác định bậc:

1. Xác định tất cả các biến trong đơn thức: Bạn cần nhìn kỹ xem có chứa những biến nào, như x, y, z.

2. Cộng tất cả các số mũ của biến: Lưu ý rằng chỉ cộng số mũ của các biến; phần hệ số (con số đứng trước các biến) không ảnh hưởng đến bậc của đơn thức. Chỉ cần cộng các số mũ để tìm bậc.

3. Xác định kết quả: Tổng số mũ của các biến chính là bậc của đơn thức.

Ví dụ, ta có:

7$x^4{y}^{3}z$

Bước đầu tiên: xác định tất cả các biến. Ở đây, chúng ta có x, y, và z.

Bước thứ hai: cộng các số mũ của các biến lại. Biến x có số mũ là 4, y có số mũ là 3, và z (nếu không có ghi số mũ, thì mặc định là 1).

Kết quả: 4+3+1=8. Vậy bậc của đơn thức này là 8.

Lưu ý: 

+ Nếu đơn thức là một hằng số, chẳng hạn như 5 hay −3, thì bậc đó là 0 (vì nó không có biến nào cả).

+ Một đơn thức có bậc 1 thường được gọi là đơn thức bậc nhất, và nếu nó có bậc 2, ta gọi là bậc hai, và cứ tiếp tục như vậy.

+ Số 0 được coi là đơn thức không có bậc. 

Phép toán với đơn thức

Các phép toán với đơn thức sẽ xuất hiện rất nhiều trong các bài tập giải phương trình hoặc bất phương trình. Để nắm rõ các phép toán bạn cần chú ý các dạng như sau.

Cộng và trừ đơn thức đồng dạng

Trước hết, bạn cần hiểu về khái niệm đơn thức đồng dạng. Đơn thức đồng dạng là những đơn thức có phần biến giống hệt nhau, tức là phải có cùng các biến với cùng số mũ. Nếu có biến khác nhau hoặc số mũ khác nhau thì chúng không phải đồng dạng và không thể cộng trừ với nhau được.

Cách thực hiện

Khi cộng hoặc trừ các đơn thức đồng dạng, bạn chỉ cần cộng hoặc trừ các hệ số và giữ nguyên phần biến.

Ví dụ:

3$x^2$+5$x^2$=(3+5)$x^2$=8$x^2$

−7xy−3xy=(−7−3)xy=−10xy

Nếu hai đơn thức không đồng dạng, như 4x và 5y, thì không thể cộng hoặc trừ với nhau. Bạn sẽ phải để nguyên chúng trong biểu thức.

Nhân hai đơn thức

Nhân hai đơn thức bao gồm việc nhân hệ số với nhau và cộng các số mũ của những biến giống nhau.

Cách thực hiện

Nhân các hệ số lại với nhau.

Cộng số mũ của các biến giống nhau.

Ví dụ:

3$x^2$⋅4$x^3$=(3⋅4)$x^{2+3}$=12$x^5$

2xy⋅3$x^2$$y^3$=(2⋅3)$x^{1+2}{y}^{1+3}$=6$x^3{y}^4$

Nhờ việc cộng các số mũ của các biến giống nhau, bạn sẽ thấy các đơn thức phức tạp ban đầu bỗng trở nên gọn gàng và dễ dàng hơn rất nhiều.

Chia đơn thức

Chia đơn thức là một quá trình ngược lại với phép nhân. Khi chia, bạn lấy hệ số bị chia chia cho hệ số của đơn thức chia. Sau đó, trừ số mũ của biến trong đơn thức bị chia cho số mũ tương ứng của biến trong đơn thức chia.

Cách thực hiện

+ Chia hệ số của hai đơn thức.

+ Trừ số mũ của biến trong đơn thức bị chia cho số mũ của biến trong đơn thức chia.

Ví dụ:

$\frac{12x^5}{3x^2}=\frac{12}{3}.x^{5-2}=4x^3$

$\frac{15x^4{y}^2}{5xy}=\frac{15}{5}.x^{4-1}{y}^{2-1}=3x^{3}y$

Khi biến trong mẫu số không có trong tử số, bạn chỉ cần thực hiện phép chia hệ số và giữ nguyên các biến còn lại.

Ứng dụng của đơn thức

Đơn thức là phương pháp toán học cơ bản cho rất nhiều bài toán phức tạp hơn, từ đại số đến cả những phương trình trong đời sống thực.

Đơn thức trong việc tính toán đại số

Đơn thức chính là những mảnh ghép nền tảng của đại số. Trong các bài toán, chúng ta thường bắt gặp những biểu thức phức tạp, nhưng khi chia nhỏ ra, bạn sẽ thấy chúng chỉ là tập hợp ghép lại. Chúng ta có thể thực hiện các phép toán như cộng, trừ, nhân, và chia, để đơn giản hóa biểu thức hoặc giải quyết các bài toán phức tạp.

Đơn thức trong việc giải phương trình, bất phương trình

Khi giải phương trình và bất phương trình, đơn thức cực kỳ quan trọng. Với mỗi phương trình, việc chuyển đổi các phần của phương trình thành những đơn thức giúp chúng ta sắp xếp và đưa về dạng đơn giản nhất để giải quyết. Tương tự, trong bất phương trình cũng giúp chúng ta nhóm các phần tử giống nhau và dễ dàng thao tác hơn, để từ đó tìm ra giải pháp thích hợp. 

Bài tập đơn thức

Bài tập cơ bản

Bài 1: Thu gọn các đơn thức sau:

$$\begin{gathered} a) -\frac{1}{3}{x}^{2}y.\frac{3}{2}x{y}^3 \\ b) -5x{y}^4.(-0,2)x^2{y}^2 \\ c) (-2x^{2}y\left)\right(5x^3{y}^3\left) \\ d\right) {(-1\frac{1}{2}{x}^2{y}^3)}^2 \end{gathered}$$

Lời giải

$a) -\frac{1}{3}{x}^{2}y.\frac{3}{2}x{y}^3 =(-\frac{1}{3}.\frac{3}{2}).(x^2.x).(y.y^3)=-\frac{1}{2}.x^3{y}^4$

$b) -5x{y}^4.(-0,2)x^2{y}^2=\left[-5.(-0,2)\right].(x.x^2).(y^4.y^2)=x^3.y^6$

$c) (-2x^{2}y\left)\right(5x^3{y}^3)=(-2.5).(x^2.x^3).(y.y^3)=-10.x^5.y^4$

$d) {(-1\frac{1}{2}{x}^2{y}^3)}^2={(-1\frac{1}{2})}^2.{\left(x^2\right)}^2.{\left(y^3\right)}^2=\frac{9}{4}.x^4.y^6$

Bài 2: Thu gọn rồi tìm bậc của đơn thức đó:

$$\begin{gathered} a) -\frac{1}{5}{x}^3{y}^2.\frac{5}{4}x{y}^3 \\ b) -3x{y}^4.(-\frac{1}{3})x^2{y}^2 \end{gathered}$$

Lời giải

$a) -\frac{1}{5}{x}^3{y}^2.\frac{5}{4}x{y}^3=-\frac{1}{4}{x}^4{y}^5. Vậy bậc của đơn thức là: 4+5=9$

$b) -3x{y}^4.(-\frac{1}{3})x^2{y}^2=x^3{y}^6. Vậy bậc của đơn thức là: 3+6=9$

Bài tập nâng cao

Bài 3: Cho hai đơn thức $A=\frac{1}{5}{x}^3{y}^2$ và $B=-10x{y}^4$  . 

Hai đơn thức có thể cùng có giá trị dương được hay không?

Lời giải

Xét tích hai đơn thức: $AB=\frac{1}{5}{x}^3{y}^2.(-10x{y}^4)=-2x^4{y}^6$

$$\begin{gathered} Ta có: x^4\ge 0 \forall x và y^6\ge 0 \forall y nên x^4{y}^6\ge 0 \forall x;y \\ Suy ra -2x^4{y}^6\le 0\forall x;y nên A.B\le \forall x;y \\ Vậy hai đơn thức A và B không thể cùng có giá trị dương \end{gathered}$$

Bài 4: Cho 3 đơn thức: $A=2x^3,B=-x{y}^4 và C=-3y^4{z}^2$

Chứng minh 3 đơn thức này không thể cùng có giá trị âm.

Lời giải

Xét tích ba đơn thức: $ABC=2x^3.(-x{y}^4 ).(-3y^4{z}^2)=6x^4{y}^8{z}^2$

$$\begin{gathered} Ta có: x^4\ge 0 \forall x; y^8\ge 0 \forall y; z^2\ge 0 \forall z nên x^4{y}^8{z}^2\ge 0 \forall x;y;z \\ Suy ra 6x^4{y}^8{z}^2\ge 0\forall x;y;z nên A.B.C\ge \forall x;y;z \\ Vậy ba đơn thức A B C không thể cùng có giá trị âm \end{gathered}$$

Kết luận

Như vậy, câu hỏi “đơn thức là gì” sẽ không còn là một khái niệm xa lạ hay phức tạp khi chúng ta nắm rõ bản chất của nó. Đây sẽ là nền tảng giúp chúng ta chinh phục các bài toán, là phương pháp hữu dụng trong nhiều phép tính, và là yếu tố cần thiết để mở rộng kiến thức toán học. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hi vọng bạn hoàn toàn có thể tự tin giải các bài toán 1 cách dễ dàng nhé.