Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức

[Tổng hợp đầy đủ] Công thức đạo hàm cần nhớ

schedule.svg

Thứ hai, 15/4/2024 08:34 AM

Tác giả: Admin Hoclagioi

Đạo hàm là một kiến thức khá quan trọng trong chương trình toán 11. Để làm tốt được các bài đạo hàm, chúng ta cần nắm vững công thức đạo hàm. Sau đây là tổng hợp đầy đủ công thức đạo hàm, cùng Học là Giỏi theo dõi nhé

Mục lục [Ẩn]

Định nghĩa đạo hàm

Đạo hàm của một hàm số y=f(x)y = f(x) tại một điểm x0x_0​ trên miền xác định của hàm số được định nghĩa là giới hạn sau:

f(x0)=limΔx0ΔyΔxf'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}

trong đó:

Δx\Delta x: Số gia của biến số xx, tức là Δx=xx0\Delta x = x - x_0​.

Δy\Delta y: Số gia của hàm số tại điểm x0x_0​, tức là Δy=f(x0+Δx)f(x0)\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)).

Giới hạn này biểu diễn tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm x0x_0​.

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Để tính f(x0)f'(x_0)bằng định nghĩa, thực hiện theo 3 bước sau:

Bước 1: Tìm số gia Δy\Delta y

Δy=f(x0+Δx)f(x0)\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)

Bước 2: Rút gọn tỉ số ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}

Chia Δy\Delta y cho Δx\Delta x:

ΔyΔx=f(x0+Δx)f(x0)Δx.\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.

Bước 3: Tính giới hạn limΔx0ΔyΔx\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}

Lấy giới hạn khi Δx0\Delta x \to 0

f(x0)=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δx.f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.

Nếu giới hạn tồn tại và bằng một số cụ thể aa, thì ta kết luận:

f(x0)=a.f'(x_0) = a.

Các công thức đạo hàm cần nhớ

Trong mục này, chúng mình cùng nhắc lại đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương; bảng đạo hàm của một số hàm sơ cấp cơ bản và hàm hợp. Ngoài ra, chúng mình còn được mở rộng thêm về đạo hàm của các phân thức hữu tỉ và đạo hàm cấp cao nữa nhé.

a) Công thức đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử $f=f(x), g=g(x)$ là các hàm số có đạo hàm tại điểm $x$ thuộc khoảng xác định. Ta có:

$(f + g)^{\prime} =f^{\prime}+ g^{\prime}$ ; $(f - g)^{\prime} = f^{\prime} - g^{\prime}$;

$(f . g)^{\prime}= f^{\prime}.g + f g^{\prime}$ ; $\left(\dfrac{f}{g}\right)’=\dfrac{f’ g-f g’}{g^2}, (g=g(x) \neq 0) .$

b) Bảng công thức đạo hàm của một số hàm sơ cấp cơ bản và hàm hợp

Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản thường gặpĐạo hàm của hàm hợp (ở đây $u=u(x)$
$\left(x^n\right)^{\prime}=n \cdot x^{n-1}$$\left(u^n\right)^{\prime}=n \cdot u^{n-1} \cdot u^{\prime}$
$\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^2}$$\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{u^2}$
$(\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$$(\sqrt{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}$
$(\sin x)^{\prime}=\cos x$$(\sin u)^{\prime}=u^{\prime} \cdot \cos u$
$(\cos x)^{\prime}=-\sin x$$(\cos u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot \sin u$
$(\tan x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^2 x}$$(\tan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\cos ^2 u}$
$(\cot x)^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^2 x}$$(\cot u)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{\sin ^2 u}$
$\left(e^x\right)^{\prime}=e^x$$\left(e^u\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^u$
$\left(a^x\right)^{\prime}=a^x \ln a$$\left(a^u\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot a^u \ln a$
$(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$$(\ln u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}$
$\left(\log _a x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}$$\left(\log _a u\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u \ln a}$

c) Công thức tính nhanh đạo hàm của các phân thức hữu tỉ

$\begin{aligned} & \left(\frac{a x+b}{c x+d}\right)^{\prime}=\frac{\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|}{(c x+d)^2}=\frac{a d-b c}{(c x+d)^2} \\ & \left(\frac{a x^2+b x+c}{e x+f}\right)^{\prime}=\frac{a e x^2+2 a f x+(b f-c e)}{(e x+f)^2} \\ & \left(\frac{a_1 x^2+b_1 x+c_1}{a_2 x^2+b_2 x+c_2}\right)^{\prime}=\frac{\left|\begin{array}{ll}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{array}\right| x^2+2\left|\begin{array}{ll}a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2\end{array}\right| x+\left|\begin{array}{ll}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2\end{array}\right|}{\left(a_2 x^2+b_2 x+c_2\right)^2} \\ & \end{aligned}$

d) Công thức đạo hàm cấp cao

- Đạo hàm lũy thừa: $\left(x^m\right)^{(n)}= \begin{cases}m(m-1)(m-2) \ldots(m-n+1) x^{m-n} & (m \geq n) \\ 0 & (m<n)\end{cases}$

- Đạo hàm của hàm số mũ và logarit:

$\left(\log _a x\right)^{(n)}=(-1)^{n-1} \frac{(n-1) !}{\ln a} \frac{1}{x^n}$

$(\ln x)^{(n)}=(-1)^{n-1}(n-1) ! x^{-n}$

$\left(e^{k x}\right)^{(n)}=k^n e^{k x}$

$\left(a^x\right)^{(n)}=(\ln a)^n a^x$

- Đạo hàm của hàm số lượng giác:

$(\sin a x)^{(n)}=a^n \sin \left(a x+\frac{n \pi}{2}\right)$

$(\cos a x)^{(n)}=a^n \cos \left(a x+\frac{n \pi}{2}\right)$

- Đạo hàm của phân thức hữu tỉ: $\left(\frac{1}{a x+b}\right)^{(n)}=(-1)^n a^n n ! \frac{1}{(a x+b)^{n+1}}$

e) Các công thức đạo hàm mở rộng

Trong chương trình môn Toán, việc nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản là chưa đủ. Để giải quyết các bài toán phức tạp hơn, học sinh cần hiểu và áp dụng các công thức đạo hàm mở rộng. Các công thức này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi chuyên đề. Dưới đây là các công thức mở rộng:

Công thức đạo hàm của hàm mũ và logarit:

Đạo hàm của hàm mũ

ddxax=axlna\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a

Đạo hàm của hàm logarit

ddxlogax=1xlna\frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a}

Công thức đạo hàm của các hàm lượng giác:

Đạo hàm của hàm sin, cos nhiều lần

(sinx)(n)=(1)nsin(n)(x)(\sin x)^{(n)} = (-1)^n \sin^{(n)}(x)

(cosx)(n)=(1)ncos(n)(x)(\cos x)^{(n)} = (-1)^n \cos^{(n)}(x)

Đạo hàm của hàm tan và cotan

(tanx)(n)=dndxntanx=n!cos2(x)tan(n1)(x)(\tan x)^{(n)} = \frac{d^n}{dx^n} \tan x = \frac{n!}{\cos^2(x)} \tan^{(n-1)}(x)

(cotx)(n)=(1)nn!sin2(x)cot(n1)(x)(\cot x)^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{\sin^2(x)} \cot^{(n-1)}(x)

Công thức đạo hàm của phân thức hữu tỉ:

Đạo hàm của phân thức bậc cao

(P(x)Q(x))=Q(x)P(x)P(x)Q(x)(Q(x))2\left( \frac{P(x)}{Q(x)} \right)' = \frac{Q(x)P'(x) - P(x)Q'(x)}{(Q(x))^2}

Công thức đạo hàm cấp cao:

Đạo hàm của các hàm lũy thừa và hàm số mũ nhiều lần

(xm)(n)={m(m1)(m2)(mn+1)xmnif mn0if m<n\left(x^m\right)^{(n)} = \begin{cases} m(m-1)(m-2) \ldots(m-n+1) x^{m-n} & \text{if } m \geq n \\ 0 & \text{if } m < n \end{cases}

Đạo hàm của hàm số mũ và logarit nhiều lầnddxekx=kekx\frac{d}{dx} e^{kx} = k e^{kx}

Các quy tắc tính đạo hàm

Trong quá trình giải toán liên quan đến đạo hàm, các quy tắc tính là công cụ vô cùng quan trọng, giúp chúng ta xử lý những bài toán từ đơn giản đến phức tạp một cách nhanh chóng và chính xác. Sau đây là các quy tắc cần nhớ:

Quy tắc tổng và hiệu

(f(x)+g(x))=f(x)+g(x), (f(x)g(x))=f(x)g(x)(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x), \quad (f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)

Quy tắc tích

(f(x)g(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x)(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

Quy tắc thương

(f(x)g(x))=f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)2 (với g(x)0)\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2} \quad \text{(với \(g(x) \neq 0\))}

Quy tắc hàm hợp

y=f(u(x))    y=f(u)u(x)y = f(u(x)) \implies y' = f'(u) \cdot u'(x)

Ứng dụng

Kết hợp các quy tắc linh hoạt để tính đạo hàm cho bài toán phức tạp. 

Ví dụ:
Tính y=x2exsin(x)y = \frac{x^2 \cdot e^x}{\sin(x)} :

Áp dụng quy tắc thương và tích, kết quả:

y=(2xex+x2ex)sin(x)x2excos(x)sin2(x)y' = \frac{(2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x) \cdot \sin(x) - x^2 \cdot e^x \cdot \cos(x)}{\sin^2(x)}

Bài tập áp dụng công thức tính đạo hàm

Các bạn hãy lấy giấy, bút, nháp để làm các bài tập dưới đây nhé. Đây là các dạng bài tập cơ bản sử dụng công thức tính đạo hàm.

Bài tập áp dụng công thức tính đạo hàm
Bài tập đạo hàm

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Hàm số $f(x)=x^3+2 x^2+4 x+5$ có đạo hàm $f^{\prime}(x)$ là:

A. $f^{\prime}(x)=3 x^2+4 x+4$              B. $f^{\prime}(x)=3 x^2+4 x+4+5$

C. $f^{\prime}(x)=3 x^2+2 x+4$              D. $f^{\prime}(x)=3 x+2 x+4$

Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số sau $y=\frac{2 x+1}{x+2}$

A. $-\frac{3}{(x+2)^2}$                 B. $\frac{3}{x+2}$

C. $\frac{3}{(x+2)^2}$                  D. $\frac{2}{(x+2)^2}$

Câu 3. Cho hàm số $f(x)=\sqrt[3]{x}$. Giá trị của $f^{\prime}(8)$ bằng:

A. $\frac{1}{6}$       B. $\frac{1}{12}$     C. $-\frac{1}{6}$      D. $-\frac{1}{12}$

Câu 4. Cho hàm số $y=\frac{3}{1-x}$. Để $y^{\prime}<0$ thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?

A. 1.             B. 3.             C. $\emptyset$.                D. $\mathrm{R}$.

Câu 5. Đạo hàm của hàm số $y=\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^2}$ bằng biểu thức nào sau đây?

A. $-\frac{3}{x^4}+\frac{1}{x^3}$             B. $\frac{-3}{x^4}+\frac{2}{x^3}$

C. $\frac{-3}{x^4}-\frac{2}{x^3}$              D. $\frac{3}{x^4}-\frac{1}{x^3}$

Câu 6. Đạo hàm của hàm số $y=\left(1-x^3\right)^5$ là :

A. $y^{\prime}=5 x^2\left(1-x^3\right)^4$           B. $y^{\prime}=-15 x^2\left(1-x^3\right)^4$

C. $y^{\prime}=-3 x^2\left(1-x^3\right)^4$          D. $y^{\prime}=-5 x^2\left(1-x^3\right)^4$

Câu 7. Nếu hàm số $f(x)=\sqrt{2 x-1}$ thì $f^{\prime}(5)$ bằng

A. 3.             B. $\dfrac{1}{6}$.              C. $\dfrac{1}{3}$.              D. $\dfrac{2}{3}$.

Bài tập tự luận

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. $y=-2 x^4+4 x^2-3 x+1$.

2. $y=x^3-3 x^2+x-1$.

3. $y=\frac{1}{2} x^3+x^4-x^3-\frac{3}{2} x^2+4 x-5$.

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. $y=\left(x^2+x\right)\left(3-x^2\right)$.

2. $y=(2 x-1)^2(2 x+1)^2$.

3. $y=x(2 x-1)(3 x+2)$.

Bài 3. Tìm đạo hàm của hàm số sau

1. $y=\left(2 x^3-3 x^2-6 x+1\right)^2$.

2. $y=\left(x^7+3 x^4+2\right)^{10}$.

3. $y=\left(x^4-2 x^2+x-1\right)^2$.

Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. $y=\frac{2 x-1}{4 x-3}$.

2. $y=\frac{3}{2 x+1}$.

3. $y=\frac{2 x+1}{1-3 x}$.

Bài 5. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. $y=\frac{1}{x+1}-2 x$.

2. $y=\frac{1}{x^2-2 x+1}$.

3. $y=\frac{1}{x^2-3 x+1}$.

Nếu đã làm xong bài phía trên, chúng mình cùng kiểm tra đáp án nhé.

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. A       Câu 2. C       Câu 3. B       Câu 4. C       Câu 5. B       Câu 6. B            Câu 7.

Bài tập tự luận

Bài 1. 

1. $-8x^3+8 x-3$

2. $3x^2-6 x+1$

3. $\frac{5}{2}x^4+4x^3-3x^2-3x+4$

Bài 2. 

1. $-4 x^3-3 x^2+6 x+3$

2. $16 x^2+4$

3. $18 x^2+2 x-2$

Bài 3.

1. $25 x^5-60 x^4-60 x^3+120 x^2+60 x-12$

2. $10\left(x^7+3 x^4+2\right)^9 \cdot\left(7 x^6+12 x^3\right)$

3. $8 x^7-24 x^5+10 x^4+8 x^3-12 x^2+10 x-2$

Bài 4. 

1. $\frac{-2}{(4 x-3)^2}$

2. $\frac{-6}{(2 x+1)^2}$

3. $\frac{5}{(1-3 x)^2}$

Bài 5.

1. $-\frac{1}{(x+1)^2}-2$

2. $-\frac{2}{(x-1)^3}$

3. $ \frac{3-2 x}{\left(x^2-3 x+1\right)^2}$

Hy vọng với việc Trung tâm giá sư online Học là Giỏi tổng hợp các công thức đạo hàm và một số bài tập luyện ở trên sẽ giúp chúng mình nhớ và áp dụng giải được các bài toán tính đạo hàm trong chương trình toán lớp 11 nhé.

 

Chủ đề:

Đăng ký học thử ngay hôm nay

Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!

Bài viết liên quan

Bí quyết ghi nhớ bảng nhân 4 qua các bài tập thú vị
schedule

Thứ ba, 11/3/2025 07:55 AM

Bí quyết ghi nhớ bảng nhân 4 qua các bài tập thú vị

Bảng nhân 4 là một trong những kiến thức quan trọng trong toán học tiểu học, giúp học sinh rèn luyện tư duy và kỹ năng tính nhẩm nhanh. Gia sư online Học là Giỏi sẽ giúp bạn nắm vững bảng nhân 4 trong bài viết để bạn áp dụng phép nhân đối với các bài tập một cách hiệu quả.

Học thuộc bảng nhân 3 chỉ trong vài phút
schedule

Thứ ba, 11/3/2025 06:54 AM

Học thuộc bảng nhân 3 chỉ trong vài phút

Bảng nhân 3 là một trong những bảng cửu chương quan trọng giúp chúng ta ghi nhớ phép nhân với số 3 dễ dàng. Trong bài viết dưới đây, gia sư online Học là Giỏi sẽ hướng dẫn chi tiết về bảng nhân 3 để bạn áp dụng phép nhân này hiệu quả nhé.

Bảng nhân 2 là gì? Các phép tính trong bảng nhân 2
schedule

Thứ hai, 10/3/2025 09:32 AM

Bảng nhân 2 là gì? Các phép tính trong bảng nhân 2

Bảng nhân 2 giúp bạn tính nhanh và giải toán dễ dàng hơn cho phép nhân với số 2. Trong bài viết dưới đây, gia sư online Học là Giỏi sẽ cung cấp chi tiết về bảng nhân 2 để bạn có thể nắm vững phép nhân này nhé.

Cách học bảng cửu chương nhân, chia nhanh chóng và hiệu quả
schedule

Thứ sáu, 7/3/2025 10:10 AM

Cách học bảng cửu chương nhân, chia nhanh chóng và hiệu quả

Bảng cửu chương là một công cụ tính toán giúp bạn giải quyết nhanh gọn mọi bài toán trong học tập và cuộc sống. Thành thạo bảng cửu chương hỗ trợ bạn tư duy logic, tính toán linh hoạt và áp dụng vào thực tế dễ dàng hơn. Gia sư online Học là Giỏi mang đến cho bạn bảng cửu chương chi tiết dưới đây để giúp việc ghi nhớ hay học thuộc trở nên dễ dàng và hiệu quả hơn.

Tổng hợp các dạng toán Vi-ét thi vào lớp 10 mới nhất
schedule

Thứ tư, 12/2/2025 06:38 AM

Tổng hợp các dạng toán Vi-ét thi vào lớp 10 mới nhất

Hệ thức Vi-ét là một công cụ quan trọng giúp giải nhanh các bài toán về nghiệm của phương trình bậc hai. Việc nắm vững các dạng toán Vi-ét thi vào lớp 10 sẽ giúp học sinh nâng cao tư duy toán học để dễ dàng giải đề thi. Hôm nay cùng gia sư online Học là Giỏi sẽ hệ thống lại các phương pháp, đưa ra ví dụ cụ thể để giúp bạn làm chủ dạng toán này một cách hiệu quả.

Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất của tứ giác nội tiếp
schedule

Thứ ba, 26/11/2024 09:39 AM

Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất của tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp là một trong những khái niệm quan trọng trong hình học lớp 9, đặc biệt khi tìm hiểu về các mối quan hệ giữa các điểm và đường tròn. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá tứ giác nội tiếp này là gì và chúng có các tính chất như thế nào nhé.

message.svg zalo.png