Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức

[Tổng hợp đầy đủ] Công thức đạo hàm cần nhớ

schedule.svg

Thứ hai, 15/4/2024 08:34 AM

Tác giả: Admin Hoclagioi

Đạo hàm là một kiến thức khá quan trọng trong chương trình toán 11. Để làm tốt được các bài đạo hàm, chúng ta cần nắm vững công thức đạo hàm. Sau đây là tổng hợp đầy đủ công thức đạo hàm, cùng Học là Giỏi theo dõi nhé

Mục lục [Ẩn]

Định nghĩa đạo hàm

Đạo hàm của một hàm số y=f(x)y = f(x) tại một điểm x0x_0​ trên miền xác định của hàm số được định nghĩa là giới hạn sau:

f(x0)=limΔx0ΔyΔxf'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}

trong đó:

Δx\Delta x: Số gia của biến số xx, tức là Δx=xx0\Delta x = x - x_0​.

Δy\Delta y: Số gia của hàm số tại điểm x0x_0​, tức là Δy=f(x0+Δx)f(x0)\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)).

Giới hạn này biểu diễn tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm x0x_0​.

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Để tính f(x0)f'(x_0)bằng định nghĩa, thực hiện theo 3 bước sau:

Bước 1: Tìm số gia Δy\Delta y

Δy=f(x0+Δx)f(x0)\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)

Bước 2: Rút gọn tỉ số ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}

Chia Δy\Delta y cho Δx\Delta x:

ΔyΔx=f(x0+Δx)f(x0)Δx.\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.

Bước 3: Tính giới hạn limΔx0ΔyΔx\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}

Lấy giới hạn khi Δx0\Delta x \to 0

f(x0)=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δx.f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.

Nếu giới hạn tồn tại và bằng một số cụ thể aa, thì ta kết luận:

f(x0)=a.f'(x_0) = a.

Các công thức đạo hàm cần nhớ

Trong mục này, chúng mình cùng nhắc lại đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương; bảng đạo hàm của một số hàm sơ cấp cơ bản và hàm hợp. Ngoài ra, chúng mình còn được mở rộng thêm về đạo hàm của các phân thức hữu tỉ và đạo hàm cấp cao nữa nhé.

a) Công thức đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử $f=f(x), g=g(x)$ là các hàm số có đạo hàm tại điểm $x$ thuộc khoảng xác định. Ta có:

$(f + g)^{\prime} =f^{\prime}+ g^{\prime}$ ; $(f - g)^{\prime} = f^{\prime} - g^{\prime}$;

$(f . g)^{\prime}= f^{\prime}.g + f g^{\prime}$ ; $\left(\dfrac{f}{g}\right)’=\dfrac{f’ g-f g’}{g^2}, (g=g(x) \neq 0) .$

b) Bảng công thức đạo hàm của một số hàm sơ cấp cơ bản và hàm hợp

Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản thường gặpĐạo hàm của hàm hợp (ở đây $u=u(x)$
$\left(x^n\right)^{\prime}=n \cdot x^{n-1}$$\left(u^n\right)^{\prime}=n \cdot u^{n-1} \cdot u^{\prime}$
$\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^2}$$\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{u^2}$
$(\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$$(\sqrt{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}$
$(\sin x)^{\prime}=\cos x$$(\sin u)^{\prime}=u^{\prime} \cdot \cos u$
$(\cos x)^{\prime}=-\sin x$$(\cos u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot \sin u$
$(\tan x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^2 x}$$(\tan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\cos ^2 u}$
$(\cot x)^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^2 x}$$(\cot u)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{\sin ^2 u}$
$\left(e^x\right)^{\prime}=e^x$$\left(e^u\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^u$
$\left(a^x\right)^{\prime}=a^x \ln a$$\left(a^u\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot a^u \ln a$
$(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$$(\ln u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}$
$\left(\log _a x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}$$\left(\log _a u\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u \ln a}$

c) Công thức tính nhanh đạo hàm của các phân thức hữu tỉ

$\begin{aligned} & \left(\frac{a x+b}{c x+d}\right)^{\prime}=\frac{\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|}{(c x+d)^2}=\frac{a d-b c}{(c x+d)^2} \\ & \left(\frac{a x^2+b x+c}{e x+f}\right)^{\prime}=\frac{a e x^2+2 a f x+(b f-c e)}{(e x+f)^2} \\ & \left(\frac{a_1 x^2+b_1 x+c_1}{a_2 x^2+b_2 x+c_2}\right)^{\prime}=\frac{\left|\begin{array}{ll}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{array}\right| x^2+2\left|\begin{array}{ll}a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2\end{array}\right| x+\left|\begin{array}{ll}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2\end{array}\right|}{\left(a_2 x^2+b_2 x+c_2\right)^2} \\ & \end{aligned}$

d) Công thức đạo hàm cấp cao

- Đạo hàm lũy thừa: $\left(x^m\right)^{(n)}= \begin{cases}m(m-1)(m-2) \ldots(m-n+1) x^{m-n} & (m \geq n) \\ 0 & (m<n)\end{cases}$

- Đạo hàm của hàm số mũ và logarit:

$\left(\log _a x\right)^{(n)}=(-1)^{n-1} \frac{(n-1) !}{\ln a} \frac{1}{x^n}$

$(\ln x)^{(n)}=(-1)^{n-1}(n-1) ! x^{-n}$

$\left(e^{k x}\right)^{(n)}=k^n e^{k x}$

$\left(a^x\right)^{(n)}=(\ln a)^n a^x$

- Đạo hàm của hàm số lượng giác:

$(\sin a x)^{(n)}=a^n \sin \left(a x+\frac{n \pi}{2}\right)$

$(\cos a x)^{(n)}=a^n \cos \left(a x+\frac{n \pi}{2}\right)$

- Đạo hàm của phân thức hữu tỉ: $\left(\frac{1}{a x+b}\right)^{(n)}=(-1)^n a^n n ! \frac{1}{(a x+b)^{n+1}}$

e) Các công thức đạo hàm mở rộng

Trong chương trình môn Toán, việc nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản là chưa đủ. Để giải quyết các bài toán phức tạp hơn, học sinh cần hiểu và áp dụng các công thức đạo hàm mở rộng. Các công thức này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi chuyên đề. Dưới đây là các công thức mở rộng:

Công thức đạo hàm của hàm mũ và logarit:

Đạo hàm của hàm mũ

ddxax=axlna\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a

Đạo hàm của hàm logarit

ddxlogax=1xlna\frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a}

Công thức đạo hàm của các hàm lượng giác:

Đạo hàm của hàm sin, cos nhiều lần

(sinx)(n)=(1)nsin(n)(x)(\sin x)^{(n)} = (-1)^n \sin^{(n)}(x)

(cosx)(n)=(1)ncos(n)(x)(\cos x)^{(n)} = (-1)^n \cos^{(n)}(x)

Đạo hàm của hàm tan và cotan

(tanx)(n)=dndxntanx=n!cos2(x)tan(n1)(x)(\tan x)^{(n)} = \frac{d^n}{dx^n} \tan x = \frac{n!}{\cos^2(x)} \tan^{(n-1)}(x)

(cotx)(n)=(1)nn!sin2(x)cot(n1)(x)(\cot x)^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{\sin^2(x)} \cot^{(n-1)}(x)

Công thức đạo hàm của phân thức hữu tỉ:

Đạo hàm của phân thức bậc cao

(P(x)Q(x))=Q(x)P(x)P(x)Q(x)(Q(x))2\left( \frac{P(x)}{Q(x)} \right)' = \frac{Q(x)P'(x) - P(x)Q'(x)}{(Q(x))^2}

Công thức đạo hàm cấp cao:

Đạo hàm của các hàm lũy thừa và hàm số mũ nhiều lần

(xm)(n)={m(m1)(m2)(mn+1)xmnif mn0if m<n\left(x^m\right)^{(n)} = \begin{cases} m(m-1)(m-2) \ldots(m-n+1) x^{m-n} & \text{if } m \geq n \\ 0 & \text{if } m < n \end{cases}

Đạo hàm của hàm số mũ và logarit nhiều lầnddxekx=kekx\frac{d}{dx} e^{kx} = k e^{kx}

Các quy tắc tính đạo hàm

Trong quá trình giải toán liên quan đến đạo hàm, các quy tắc tính là công cụ vô cùng quan trọng, giúp chúng ta xử lý những bài toán từ đơn giản đến phức tạp một cách nhanh chóng và chính xác. Sau đây là các quy tắc cần nhớ:

Quy tắc tổng và hiệu

(f(x)+g(x))=f(x)+g(x), (f(x)g(x))=f(x)g(x)(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x), \quad (f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)

Quy tắc tích

(f(x)g(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x)(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

Quy tắc thương

(f(x)g(x))=f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)2 (với g(x)0)\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2} \quad \text{(với \(g(x) \neq 0\))}

Quy tắc hàm hợp

y=f(u(x))    y=f(u)u(x)y = f(u(x)) \implies y' = f'(u) \cdot u'(x)

Ứng dụng

Kết hợp các quy tắc linh hoạt để tính đạo hàm cho bài toán phức tạp. 

Ví dụ:
Tính y=x2exsin(x)y = \frac{x^2 \cdot e^x}{\sin(x)} :

Áp dụng quy tắc thương và tích, kết quả:

y=(2xex+x2ex)sin(x)x2excos(x)sin2(x)y' = \frac{(2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x) \cdot \sin(x) - x^2 \cdot e^x \cdot \cos(x)}{\sin^2(x)}

Bài tập áp dụng công thức tính đạo hàm

Các bạn hãy lấy giấy, bút, nháp để làm các bài tập dưới đây nhé. Đây là các dạng bài tập cơ bản sử dụng công thức tính đạo hàm.

Bài tập áp dụng công thức tính đạo hàm
Bài tập đạo hàm

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Hàm số $f(x)=x^3+2 x^2+4 x+5$ có đạo hàm $f^{\prime}(x)$ là:

A. $f^{\prime}(x)=3 x^2+4 x+4$              B. $f^{\prime}(x)=3 x^2+4 x+4+5$

C. $f^{\prime}(x)=3 x^2+2 x+4$              D. $f^{\prime}(x)=3 x+2 x+4$

Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số sau $y=\frac{2 x+1}{x+2}$

A. $-\frac{3}{(x+2)^2}$                 B. $\frac{3}{x+2}$

C. $\frac{3}{(x+2)^2}$                  D. $\frac{2}{(x+2)^2}$

Câu 3. Cho hàm số $f(x)=\sqrt[3]{x}$. Giá trị của $f^{\prime}(8)$ bằng:

A. $\frac{1}{6}$       B. $\frac{1}{12}$     C. $-\frac{1}{6}$      D. $-\frac{1}{12}$

Câu 4. Cho hàm số $y=\frac{3}{1-x}$. Để $y^{\prime}<0$ thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?

A. 1.             B. 3.             C. $\emptyset$.                D. $\mathrm{R}$.

Câu 5. Đạo hàm của hàm số $y=\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^2}$ bằng biểu thức nào sau đây?

A. $-\frac{3}{x^4}+\frac{1}{x^3}$             B. $\frac{-3}{x^4}+\frac{2}{x^3}$

C. $\frac{-3}{x^4}-\frac{2}{x^3}$              D. $\frac{3}{x^4}-\frac{1}{x^3}$

Câu 6. Đạo hàm của hàm số $y=\left(1-x^3\right)^5$ là :

A. $y^{\prime}=5 x^2\left(1-x^3\right)^4$           B. $y^{\prime}=-15 x^2\left(1-x^3\right)^4$

C. $y^{\prime}=-3 x^2\left(1-x^3\right)^4$          D. $y^{\prime}=-5 x^2\left(1-x^3\right)^4$

Câu 7. Nếu hàm số $f(x)=\sqrt{2 x-1}$ thì $f^{\prime}(5)$ bằng

A. 3.             B. $\dfrac{1}{6}$.              C. $\dfrac{1}{3}$.              D. $\dfrac{2}{3}$.

Bài tập tự luận

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. $y=-2 x^4+4 x^2-3 x+1$.

2. $y=x^3-3 x^2+x-1$.

3. $y=\frac{1}{2} x^3+x^4-x^3-\frac{3}{2} x^2+4 x-5$.

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. $y=\left(x^2+x\right)\left(3-x^2\right)$.

2. $y=(2 x-1)^2(2 x+1)^2$.

3. $y=x(2 x-1)(3 x+2)$.

Bài 3. Tìm đạo hàm của hàm số sau

1. $y=\left(2 x^3-3 x^2-6 x+1\right)^2$.

2. $y=\left(x^7+3 x^4+2\right)^{10}$.

3. $y=\left(x^4-2 x^2+x-1\right)^2$.

Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. $y=\frac{2 x-1}{4 x-3}$.

2. $y=\frac{3}{2 x+1}$.

3. $y=\frac{2 x+1}{1-3 x}$.

Bài 5. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. $y=\frac{1}{x+1}-2 x$.

2. $y=\frac{1}{x^2-2 x+1}$.

3. $y=\frac{1}{x^2-3 x+1}$.

Nếu đã làm xong bài phía trên, chúng mình cùng kiểm tra đáp án nhé.

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. A       Câu 2. C       Câu 3. B       Câu 4. C       Câu 5. B       Câu 6. B            Câu 7.

Bài tập tự luận

Bài 1. 

1. $-8x^3+8 x-3$

2. $3x^2-6 x+1$

3. $\frac{5}{2}x^4+4x^3-3x^2-3x+4$

Bài 2. 

1. $-4 x^3-3 x^2+6 x+3$

2. $16 x^2+4$

3. $18 x^2+2 x-2$

Bài 3.

1. $25 x^5-60 x^4-60 x^3+120 x^2+60 x-12$

2. $10\left(x^7+3 x^4+2\right)^9 \cdot\left(7 x^6+12 x^3\right)$

3. $8 x^7-24 x^5+10 x^4+8 x^3-12 x^2+10 x-2$

Bài 4. 

1. $\frac{-2}{(4 x-3)^2}$

2. $\frac{-6}{(2 x+1)^2}$

3. $\frac{5}{(1-3 x)^2}$

Bài 5.

1. $-\frac{1}{(x+1)^2}-2$

2. $-\frac{2}{(x-1)^3}$

3. $ \frac{3-2 x}{\left(x^2-3 x+1\right)^2}$

Hy vọng với việc Trung tâm giá sư online Học là Giỏi tổng hợp các công thức đạo hàm và một số bài tập luyện ở trên sẽ giúp chúng mình nhớ và áp dụng giải được các bài toán tính đạo hàm trong chương trình toán lớp 11 nhé.

 

Chủ đề:

Đăng ký học thử ngay hôm nay

Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!

Bài viết liên quan

Phân số bằng nhau là gì? Cách nhận biết đơn giản nhất
schedule

Thứ năm, 3/7/2025 03:24 AM

Phân số bằng nhau là gì? Cách nhận biết đơn giản nhất

Trong chương trình Toán lớp 4, phân số bằng nhau là một trong những nội dung quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa các phần. Học là Giỏi sẽ cùng bạn tìm hiểu chi tiết kiến thức về dạng phân số này trong bài viết dưới đây nhé.

Tử số và mẫu số là gì? Kiến thức nền tảng về phân số
schedule

Thứ tư, 2/7/2025 03:40 AM

Tử số và mẫu số là gì? Kiến thức nền tảng về phân số

Khi học về phân số, chắc hẳn bạn đã từng thắc mắc: Tử số và mẫu số là gì? Đây là khái niệm xuất hiện thường xuyên trong chương trình Toán tiểu học. Học là Giỏi sẽ cung cấp chi tiết kiến thức trong bài viết sau giúp bạn hiểu rõ tử số và mẫu số trong toán học nhé.

Các phương pháp quy đồng mẫu số các phân số
schedule

Thứ ba, 1/7/2025 08:07 AM

Các phương pháp quy đồng mẫu số các phân số

Trong chương trình toán tiểu học, phân số luôn là phần kiến thức khiến nhiều học sinh cảm thấy khó tiếp cận. Đặc biệt, việc quy đồng mẫu số thường gây nhầm lẫn nếu không được hướng dẫn cụ thể. Học là Giỏi sẽ giúp bạn giải đáp tất cả những thắc mắc về quy đồng mẫu số các phân số một cách dễ hiểu và chi tiết.

Đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Lâm Đồng 2025
schedule

Thứ ba, 17/6/2025 04:12 AM

Đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Lâm Đồng 2025

Học là Giỏi tổng hợp trọn bộ đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Lâm Đồng 2025 nhằm hỗ trợ học sinh thuận tiện trong việc so sánh kết quả và tự đánh giá năng lực làm bài.

Đáp án, đề thi môn Toán THPT Quốc gia 2025
schedule

Thứ sáu, 13/6/2025 07:11 AM

Đáp án, đề thi môn Toán THPT Quốc gia 2025

Bài viết cập nhật nhanh chóng và chính xác đề thi cùng đáp án giúp thí sinh so sánh kết quả và định hướng các nguyện vọng phù hợp. Học là Giỏi cung cấp đề thi chính thức môn Toán THPT Quốc gia 2025 được thi vào chiều ngày 26/06/2025 kèm đáp án chi tiết từng mã đề, hỗ trợ thí sinh tra cứu dễ dàng và tiện lợi.

Đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Đắk Nông 2025
schedule

Thứ sáu, 6/6/2025 09:55 AM

Đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Đắk Nông 2025

Học là Giỏi sẽ cung cấp đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Đắk Nông 2025 giúp các em dễ dàng đối chiếu bài làm, từ đó ước lượng điểm số một cách chính xác.

message.svg zalo.png