[Tổng hợp đầy đủ] Công thức đạo hàm cần nhớ

Định nghĩa đạo hàm

Đạo hàm của một hàm số $y = f(x)$ tại một điểm $x_0$​ trên miền xác định của hàm số được định nghĩa là giới hạn sau:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

trong đó:

$\Delta x$: Số gia của biến số $x$, tức là $\Delta x = x - x_0$​.

$\Delta y$: Số gia của hàm số tại điểm $x_0$​, tức là $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$).

Giới hạn này biểu diễn tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm $x_0$​.

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Để tính $f'(x_0)$bằng định nghĩa, thực hiện theo 3 bước sau:

Bước 1: Tìm số gia $\Delta y$

$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

Bước 2: Rút gọn tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Chia $\Delta y$ cho $\Delta x$:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.$

Bước 3: Tính giới hạn $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

Lấy giới hạn khi $\Delta x \to 0$

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.$

Nếu giới hạn tồn tại và bằng một số cụ thể $a$, thì ta kết luận:

$f'(x_0) = a.$

Các công thức đạo hàm cần nhớ

Trong mục này, chúng mình cùng nhắc lại đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương; bảng đạo hàm của một số hàm sơ cấp cơ bản và hàm hợp. Ngoài ra, chúng mình còn được mở rộng thêm về đạo hàm của các phân thức hữu tỉ và đạo hàm cấp cao nữa nhé.

a) Công thức đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử $f=f(x), g=g(x)$ là các hàm số có đạo hàm tại điểm $x$ thuộc khoảng xác định. Ta có:

$(f + g)^{\prime} =f^{\prime}+ g^{\prime}$ ; $(f - g)^{\prime} = f^{\prime} - g^{\prime}$;

$(f . g)^{\prime}= f^{\prime}.g + f g^{\prime}$ ; $\left(\dfrac{f}{g}\right)’=\dfrac{f’ g-f g’}{g^2}, (g=g(x) \neq 0) .$

b) Bảng công thức đạo hàm của một số hàm sơ cấp cơ bản và hàm hợp

c) Công thức tính nhanh đạo hàm của các phân thức hữu tỉ

$\begin{aligned} & \left(\frac{a x+b}{c x+d}\right)^{\prime}=\frac{\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|}{(c x+d)^2}=\frac{a d-b c}{(c x+d)^2} \\ & \left(\frac{a x^2+b x+c}{e x+f}\right)^{\prime}=\frac{a e x^2+2 a f x+(b f-c e)}{(e x+f)^2} \\ & \left(\frac{a_1 x^2+b_1 x+c_1}{a_2 x^2+b_2 x+c_2}\right)^{\prime}=\frac{\left|\begin{array}{ll}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{array}\right| x^2+2\left|\begin{array}{ll}a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2\end{array}\right| x+\left|\begin{array}{ll}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2\end{array}\right|}{\left(a_2 x^2+b_2 x+c_2\right)^2} \\ & \end{aligned}$

d) Công thức đạo hàm cấp cao

- Đạo hàm lũy thừa: $\left(x^m\right)^{(n)}= \begin{cases}m(m-1)(m-2) \ldots(m-n+1) x^{m-n} & (m \geq n) \\ 0 & (m<n)\end{cases}$

- Đạo hàm của hàm số mũ và logarit:

$\left(\log _a x\right)^{(n)}=(-1)^{n-1} \frac{(n-1) !}{\ln a} \frac{1}{x^n}$

$(\ln x)^{(n)}=(-1)^{n-1}(n-1) ! x^{-n}$

$\left(e^{k x}\right)^{(n)}=k^n e^{k x}$

$\left(a^x\right)^{(n)}=(\ln a)^n a^x$

- Đạo hàm của hàm số lượng giác:

$(\sin a x)^{(n)}=a^n \sin \left(a x+\frac{n \pi}{2}\right)$

$(\cos a x)^{(n)}=a^n \cos \left(a x+\frac{n \pi}{2}\right)$

- Đạo hàm của phân thức hữu tỉ: $\left(\frac{1}{a x+b}\right)^{(n)}=(-1)^n a^n n ! \frac{1}{(a x+b)^{n+1}}$

e) Các công thức đạo hàm mở rộng

Trong chương trình môn Toán, việc nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản là chưa đủ. Để giải quyết các bài toán phức tạp hơn, học sinh cần hiểu và áp dụng các công thức đạo hàm mở rộng. Các công thức này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi chuyên đề. Dưới đây là các công thức mở rộng:

Công thức đạo hàm của hàm mũ và logarit:

Đạo hàm của hàm mũ: 

$\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a$

Đạo hàm của hàm logarit: 

$\frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a}$

Công thức đạo hàm của các hàm lượng giác:

Đạo hàm của hàm sin, cos nhiều lần: 

$(\sin x)^{(n)} = (-1)^n \sin^{(n)}(x)$

$(\cos x)^{(n)} = (-1)^n \cos^{(n)}(x)$

Đạo hàm của hàm tan và cotan: 

$(\tan x)^{(n)} = \frac{d^n}{dx^n} \tan x = \frac{n!}{\cos^2(x)} \tan^{(n-1)}(x)$

$(\cot x)^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{\sin^2(x)} \cot^{(n-1)}(x)$

Công thức đạo hàm của phân thức hữu tỉ:

Đạo hàm của phân thức bậc cao: 

$\left( \frac{P(x)}{Q(x)} \right)' = \frac{Q(x)P'(x) - P(x)Q'(x)}{(Q(x))^2}$

Công thức đạo hàm cấp cao:

Đạo hàm của các hàm lũy thừa và hàm số mũ nhiều lần: 

$\left(x^m\right)^{(n)} = \begin{cases} m(m-1)(m-2) \ldots(m-n+1) x^{m-n} & \text{if } m \geq n \\ 0 & \text{if } m < n \end{cases}$

Đạo hàm của hàm số mũ và logarit nhiều lần: $\frac{d}{dx} e^{kx} = k e^{kx}$

Các quy tắc tính đạo hàm

Trong quá trình giải toán liên quan đến đạo hàm, các quy tắc tính là công cụ vô cùng quan trọng, giúp chúng ta xử lý những bài toán từ đơn giản đến phức tạp một cách nhanh chóng và chính xác. Sau đây là các quy tắc cần nhớ:

Quy tắc tổng và hiệu

$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x), \quad (f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$

Quy tắc tích

$(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$

Quy tắc thương

$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2} \quad \text{(với \(g(x) \neq 0\))}$

Quy tắc hàm hợp

$y = f(u(x)) \implies y' = f'(u) \cdot u'(x)$

Ứng dụng

Kết hợp các quy tắc linh hoạt để tính đạo hàm cho bài toán phức tạp. 

Ví dụ:
Tính $y = \frac{x^2 \cdot e^x}{\sin(x)}$ :

Áp dụng quy tắc thương và tích, kết quả:

$y' = \frac{(2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x) \cdot \sin(x) - x^2 \cdot e^x \cdot \cos(x)}{\sin^2(x)}$

Bài tập áp dụng công thức tính đạo hàm

Các bạn hãy lấy giấy, bút, nháp để làm các bài tập dưới đây nhé. Đây là các dạng bài tập cơ bản sử dụng công thức tính đạo hàm.

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Hàm số $f(x)=x^3+2 x^2+4 x+5$ có đạo hàm $f^{\prime}(x)$ là:

A. $f^{\prime}(x)=3 x^2+4 x+4$              B. $f^{\prime}(x)=3 x^2+4 x+4+5$

C. $f^{\prime}(x)=3 x^2+2 x+4$              D. $f^{\prime}(x)=3 x+2 x+4$

Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số sau $y=\frac{2 x+1}{x+2}$

A. $-\frac{3}{(x+2)^2}$                 B. $\frac{3}{x+2}$

C. $\frac{3}{(x+2)^2}$                  D. $\frac{2}{(x+2)^2}$

Câu 3. Cho hàm số $f(x)=\sqrt[3]{x}$. Giá trị của $f^{\prime}(8)$ bằng:

A. $\frac{1}{6}$       B. $\frac{1}{12}$     C. $-\frac{1}{6}$      D. $-\frac{1}{12}$

Câu 4. Cho hàm số $y=\frac{3}{1-x}$. Để $y^{\prime}<0$ thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?

A. 1.             B. 3.             C. $\emptyset$.                D. $\mathrm{R}$.

Câu 5. Đạo hàm của hàm số $y=\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^2}$ bằng biểu thức nào sau đây?

A. $-\frac{3}{x^4}+\frac{1}{x^3}$             B. $\frac{-3}{x^4}+\frac{2}{x^3}$

C. $\frac{-3}{x^4}-\frac{2}{x^3}$              D. $\frac{3}{x^4}-\frac{1}{x^3}$

Câu 6. Đạo hàm của hàm số $y=\left(1-x^3\right)^5$ là :

A. $y^{\prime}=5 x^2\left(1-x^3\right)^4$           B. $y^{\prime}=-15 x^2\left(1-x^3\right)^4$

C. $y^{\prime}=-3 x^2\left(1-x^3\right)^4$          D. $y^{\prime}=-5 x^2\left(1-x^3\right)^4$

Câu 7. Nếu hàm số $f(x)=\sqrt{2 x-1}$ thì $f^{\prime}(5)$ bằng

A. 3.             B. $\dfrac{1}{6}$.              C. $\dfrac{1}{3}$.              D. $\dfrac{2}{3}$.

Bài tập tự luận

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. $y=-2 x^4+4 x^2-3 x+1$.

2. $y=x^3-3 x^2+x-1$.

3. $y=\frac{1}{2} x^3+x^4-x^3-\frac{3}{2} x^2+4 x-5$.

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. $y=\left(x^2+x\right)\left(3-x^2\right)$.

2. $y=(2 x-1)^2(2 x+1)^2$.

3. $y=x(2 x-1)(3 x+2)$.

Bài 3. Tìm đạo hàm của hàm số sau

1. $y=\left(2 x^3-3 x^2-6 x+1\right)^2$.

2. $y=\left(x^7+3 x^4+2\right)^{10}$.

3. $y=\left(x^4-2 x^2+x-1\right)^2$.

Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. $y=\frac{2 x-1}{4 x-3}$.

2. $y=\frac{3}{2 x+1}$.

3. $y=\frac{2 x+1}{1-3 x}$.

Bài 5. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. $y=\frac{1}{x+1}-2 x$.

2. $y=\frac{1}{x^2-2 x+1}$.

3. $y=\frac{1}{x^2-3 x+1}$.

Nếu đã làm xong bài phía trên, chúng mình cùng kiểm tra đáp án nhé.

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. A       Câu 2. C       Câu 3. B       Câu 4. C       Câu 5. B       Câu 6. B            Câu 7. C 

Bài tập tự luận

Bài 1. 

1. $-8x^3+8 x-3$

2. $3x^2-6 x+1$

3. $\frac{5}{2}x^4+4x^3-3x^2-3x+4$

Bài 2. 

1. $-4 x^3-3 x^2+6 x+3$

2. $16 x^2+4$

3. $18 x^2+2 x-2$

Bài 3.

1. $25 x^5-60 x^4-60 x^3+120 x^2+60 x-12$

2. $10\left(x^7+3 x^4+2\right)^9 \cdot\left(7 x^6+12 x^3\right)$

3. $8 x^7-24 x^5+10 x^4+8 x^3-12 x^2+10 x-2$

Bài 4. 

1. $\frac{-2}{(4 x-3)^2}$

2. $\frac{-6}{(2 x+1)^2}$

3. $\frac{5}{(1-3 x)^2}$

Bài 5.

1. $-\frac{1}{(x+1)^2}-2$

2. $-\frac{2}{(x-1)^3}$

3. $ \frac{3-2 x}{\left(x^2-3 x+1\right)^2}$

Hy vọng với việc Trung tâm giá sư online Học là Giỏi tổng hợp các công thức đạo hàm và một số bài tập luyện ở trên sẽ giúp chúng mình nhớ và áp dụng giải được các bài toán tính đạo hàm trong chương trình toán lớp 11 nhé.