Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức

[Tổng hợp đầy đủ] Công thức đạo hàm cần nhớ

schedule.svg

Thứ hai, 15/4/2024 08:34 AM

Tác giả: Admin Hoclagioi

Đạo hàm là một kiến thức khá quan trọng trong chương trình toán 11. Để làm tốt được các bài đạo hàm, chúng ta cần nắm vững công thức đạo hàm. Sau đây là tổng hợp đầy đủ công thức đạo hàm, cùng Học là Giỏi theo dõi nhé

Mục lục [Ẩn]

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a ; b)$ và điểm $x_0$ thuộc khoảng đó. Để tính $f^{\prime}\left(x_0\right)$ của hàm số $y=f(x)$ tại $x_0$, ta lần lượt thực hiện ba bước sau:

Bước 1. Xét $\Delta x$ là số gia của biến số tại điểm $x_0$. Tính $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$.

Bước 2. Rút gọn tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

Bước 3. Tính $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$.

Kết luận: Nếu $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=a$ thì $f^{\prime}\left(x_0\right)=a$.

Các công thức đạo hàm cần nhớ

Trong mục này, chúng mình cùng nhắc lại đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương; bảng đạo hàm của một số hàm sơ cấp cơ bản và hàm hợp. Ngoài ra, chúng mình còn được mở rộng thêm về đạo hàm của các phân thức hữu tỉ và đạo hàm cấp cao nữa nhé.

a) Công thức đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử $f=f(x), g=g(x)$ là các hàm số có đạo hàm tại điểm $x$ thuộc khoảng xác định. Ta có:

$(f + g)^{\prime} =f^{\prime}+ g^{\prime}$ ; $(f - g)^{\prime} = f^{\prime} - g^{\prime}$;

$(f . g)^{\prime}= f^{\prime}.g + f g^{\prime}$ ; $\left(\dfrac{f}{g}\right)’=\dfrac{f’ g-f g’}{g^2}, (g=g(x) \neq 0) .$

b) Bảng công thức đạo hàm của một số hàm sơ cấp cơ bản và hàm hợp

Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản thường gặpĐạo hàm của hàm hợp (ở đây $u=u(x)$
$\left(x^n\right)^{\prime}=n \cdot x^{n-1}$$\left(u^n\right)^{\prime}=n \cdot u^{n-1} \cdot u^{\prime}$
$\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^2}$$\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{u^2}$
$(\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$$(\sqrt{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}$
$(\sin x)^{\prime}=\cos x$$(\sin u)^{\prime}=u^{\prime} \cdot \cos u$
$(\cos x)^{\prime}=-\sin x$$(\cos u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot \sin u$
$(\tan x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^2 x}$$(\tan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\cos ^2 u}$
$(\cot x)^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^2 x}$$(\cot u)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{\sin ^2 u}$
$\left(e^x\right)^{\prime}=e^x$$\left(e^u\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^u$
$\left(a^x\right)^{\prime}=a^x \ln a$$\left(a^u\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot a^u \ln a$
$(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$$(\ln u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}$
$\left(\log _a x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}$$\left(\log _a u\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u \ln a}$

c) Công thức tính nhanh đạo hàm của các phân thức hữu tỉ

$\begin{aligned} & \left(\frac{a x+b}{c x+d}\right)^{\prime}=\frac{\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|}{(c x+d)^2}=\frac{a d-b c}{(c x+d)^2} \\ & \left(\frac{a x^2+b x+c}{e x+f}\right)^{\prime}=\frac{a e x^2+2 a f x+(b f-c e)}{(e x+f)^2} \\ & \left(\frac{a_1 x^2+b_1 x+c_1}{a_2 x^2+b_2 x+c_2}\right)^{\prime}=\frac{\left|\begin{array}{ll}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{array}\right| x^2+2\left|\begin{array}{ll}a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2\end{array}\right| x+\left|\begin{array}{ll}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2\end{array}\right|}{\left(a_2 x^2+b_2 x+c_2\right)^2} \\ & \end{aligned}$

d) Công thức đạo hàm cấp cao

- Đạo hàm lũy thừa: $\left(x^m\right)^{(n)}= \begin{cases}m(m-1)(m-2) \ldots(m-n+1) x^{m-n} & (m \geq n) \\ 0 & (m<n)\end{cases}$

- Đạo hàm của hàm số mũ và logarit:

$\left(\log _a x\right)^{(n)}=(-1)^{n-1} \frac{(n-1) !}{\ln a} \frac{1}{x^n}$

$(\ln x)^{(n)}=(-1)^{n-1}(n-1) ! x^{-n}$

$\left(e^{k x}\right)^{(n)}=k^n e^{k x}$

$\left(a^x\right)^{(n)}=(\ln a)^n a^x$

- Đạo hàm của hàm số lượng giác:

$(\sin a x)^{(n)}=a^n \sin \left(a x+\frac{n \pi}{2}\right)$

$(\cos a x)^{(n)}=a^n \cos \left(a x+\frac{n \pi}{2}\right)$

- Đạo hàm của phân thức hữu tỉ: $\left(\frac{1}{a x+b}\right)^{(n)}=(-1)^n a^n n ! \frac{1}{(a x+b)^{n+1}}$

Bài tập áp dụng công thức tính đạo hàm

Các bạn hãy lấy giấy, bút, nháp để làm các bài tập dưới đây nhé. Đây là các dạng bài tập cơ bản sử dụng công thức tính đạo hàm.

Bài tập áp dụng công thức tính đạo hàm
Bài tập đạo hàm

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Hàm số $f(x)=x^3+2 x^2+4 x+5$ có đạo hàm $f^{\prime}(x)$ là:

A. $f^{\prime}(x)=3 x^2+4 x+4$              B. $f^{\prime}(x)=3 x^2+4 x+4+5$

C. $f^{\prime}(x)=3 x^2+2 x+4$              D. $f^{\prime}(x)=3 x+2 x+4$

Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số sau $y=\frac{2 x+1}{x+2}$

A. $-\frac{3}{(x+2)^2}$                 B. $\frac{3}{x+2}$

C. $\frac{3}{(x+2)^2}$                  D. $\frac{2}{(x+2)^2}$

Câu 3. Cho hàm số $f(x)=\sqrt[3]{x}$. Giá trị của $f^{\prime}(8)$ bằng:

A. $\frac{1}{6}$       B. $\frac{1}{12}$     C. $-\frac{1}{6}$      D. $-\frac{1}{12}$

Câu 4. Cho hàm số $y=\frac{3}{1-x}$. Để $y^{\prime}<0$ thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?

A. 1.             B. 3.             C. $\emptyset$.                D. $\mathrm{R}$.

Câu 5. Đạo hàm của hàm số $y=\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^2}$ bằng biểu thức nào sau đây?

A. $-\frac{3}{x^4}+\frac{1}{x^3}$             B. $\frac{-3}{x^4}+\frac{2}{x^3}$

C. $\frac{-3}{x^4}-\frac{2}{x^3}$              D. $\frac{3}{x^4}-\frac{1}{x^3}$

Câu 6. Đạo hàm của hàm số $y=\left(1-x^3\right)^5$ là :

A. $y^{\prime}=5 x^2\left(1-x^3\right)^4$           B. $y^{\prime}=-15 x^2\left(1-x^3\right)^4$

C. $y^{\prime}=-3 x^2\left(1-x^3\right)^4$          D. $y^{\prime}=-5 x^2\left(1-x^3\right)^4$

Câu 7. Nếu hàm số $f(x)=\sqrt{2 x-1}$ thì $f^{\prime}(5)$ bằng

A. 3.             B. $\dfrac{1}{6}$.              C. $\dfrac{1}{3}$.              D. $\dfrac{2}{3}$.

Bài tập tự luận

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. $y=-2 x^4+4 x^2-3 x+1$.

2. $y=x^3-3 x^2+x-1$.

3. $y=\frac{1}{2} x^3+x^4-x^3-\frac{3}{2} x^2+4 x-5$.

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. $y=\left(x^2+x\right)\left(3-x^2\right)$.

2. $y=(2 x-1)^2(2 x+1)^2$.

3. $y=x(2 x-1)(3 x+2)$.

Bài 3. Tìm đạo hàm của hàm số sau

1. $y=\left(2 x^3-3 x^2-6 x+1\right)^2$.

2. $y=\left(x^7+3 x^4+2\right)^{10}$.

3. $y=\left(x^4-2 x^2+x-1\right)^2$.

Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. $y=\frac{2 x-1}{4 x-3}$.

2. $y=\frac{3}{2 x+1}$.

3. $y=\frac{2 x+1}{1-3 x}$.

Bài 5. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. $y=\frac{1}{x+1}-2 x$.

2. $y=\frac{1}{x^2-2 x+1}$.

3. $y=\frac{1}{x^2-3 x+1}$.

Nếu đã làm xong bài phía trên, chúng mình cùng kiểm tra đáp án nhé.

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. A       Câu 2. C       Câu 3. B       Câu 4. C       Câu 5. B       Câu 6. B            Câu 7.

Bài tập tự luận

Bài 1. 

1. $-8x^3+8 x-3$

2. $3x^2-6 x+1$

3. $\frac{5}{2}x^4+4x^3-3x^2-3x+4$

Bài 2. 

1. $-4 x^3-3 x^2+6 x+3$

2. $16 x^2+4$

3. $18 x^2+2 x-2$

Bài 3.

1. $25 x^5-60 x^4-60 x^3+120 x^2+60 x-12$

2. $10\left(x^7+3 x^4+2\right)^9 \cdot\left(7 x^6+12 x^3\right)$

3. $8 x^7-24 x^5+10 x^4+8 x^3-12 x^2+10 x-2$

Bài 4. 

1. $\frac{-2}{(4 x-3)^2}$

2. $\frac{-6}{(2 x+1)^2}$

3. $\frac{5}{(1-3 x)^2}$

Bài 5.

1. $-\frac{1}{(x+1)^2}-2$

2. $-\frac{2}{(x-1)^3}$

3. $ \frac{3-2 x}{\left(x^2-3 x+1\right)^2}$

Hy vọng với việc Trung tâm giá sư online Học là Giỏi tổng hợp các công thức đạo hàm và một số bài tập luyện ở trên sẽ giúp chúng mình nhớ và áp dụng giải được các bài toán tính đạo hàm trong chương trình toán lớp 11 nhé.

 

Chủ đề:

Đăng ký học thử ngay hôm nay

Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!

Đăng ký học thử ngay hôm nay

Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!

Lớp con đang học
Môn học quan tâm

Bài viết liên quan

Nắm trọn kiến thức về tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau
schedule

Thứ năm, 14/11/2024 04:43 AM

Nắm trọn kiến thức về tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau

Trong hình học, tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau mang lại sự cân bằng về độ dài và góc độ trong việc giải toán. Tính chất này giúp đơn giản hóa các bài toán phức tạp, hỗ trợ giải quyết hiệu quả từ những bài cơ bản cho đến nâng cao. Cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá các tính chất đặc trưng của dạng toán này nhé.

Khám phá vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
schedule

Thứ tư, 13/11/2024 08:06 AM

Khám phá vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn là khái niệm quan trọng trong hình học, đóng vai trò nền tảng trong việc giải quyết các bài toán lớp 9. Trong bài viết này, gia sư online Học là Giỏi sẽ cùng khám phá ba trường hợp cơ bản về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn nhé.

Nắm trọn kiến thức đường kính và dây của đường tròn
schedule

Thứ tư, 13/11/2024 03:08 AM

Nắm trọn kiến thức đường kính và dây của đường tròn

Trong hình học, đường kính và dây cung của đường tròn là những khái niệm cơ bản mà chúng ta sẽ được học trong chương trình lớp 9. Vậy đường kính và dây cung có vai trò gì đặc biệt trong hình tròn, và tại sao chúng lại có sức ảnh hưởng đến thế? Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá sâu hơn để tìm hiểu!

Tổng quát các kiến thức cơ bản về đường tròn
schedule

Thứ ba, 12/11/2024 08:34 AM

Tổng quát các kiến thức cơ bản về đường tròn

Đường tròn là 1 khái niệm căn bản trong chương trình học lớp 9 về hình học, đây là loại hình mà bạn sẽ thường xuyên gặp phải trong các bài tập hình. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi tìm hiểu tất cả những kiến thức cơ bản về đường tròn nhé.

Giải mã dạng phương trình quy về phương trình bậc hai
schedule

Thứ ba, 12/11/2024 03:21 AM

Giải mã dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Dạng phương trình quy về phương trình bậc hai sẽ biến những dạng phức tạp hơn như phương trình trùng phương, phương trình chứa căn thức, phương trình tích, hay chứa ẩn ở mẫu thành dạng bậc hai. Trong bài viết này, gia sư online Học là Giỏi sẽ khám phá từng loại phương trình bằng phương pháp quy về phương trình bậc hai nhé.

Chinh phục kiến thức về phương trình bậc nhất hai ẩn
schedule

Thứ sáu, 8/11/2024 08:03 AM

Chinh phục kiến thức về phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn bổ trợ rất nhiều trong nhiều bài toán đại số, cho phép khám phá mối quan hệ giữa các cặp giá trị của x và y. Cùng gia sư online Học là Giỏi tìm hiểu khái niệm này và xem xét những đặc điểm của phương trình bậc nhất hai ẩn nhé!

message.svg zalo.png