Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức

[Tổng hợp đầy đủ] Công thức đạo hàm cần nhớ

schedule.svg

Thứ hai, 15/4/2024 08:34 AM

Tác giả: Admin Hoclagioi

Đạo hàm là một kiến thức khá quan trọng trong chương trình toán 11. Để làm tốt được các bài đạo hàm, chúng ta cần nắm vững công thức đạo hàm. Sau đây là tổng hợp đầy đủ công thức đạo hàm, cùng Học là Giỏi theo dõi nhé

Mục lục [Ẩn]

Định nghĩa đạo hàm

Đạo hàm của một hàm số y=f(x)y = f(x) tại một điểm x0x_0​ trên miền xác định của hàm số được định nghĩa là giới hạn sau:

f(x0)=limΔx0ΔyΔxf'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}

trong đó:

Δx\Delta x: Số gia của biến số xx, tức là Δx=xx0\Delta x = x - x_0​.

Δy\Delta y: Số gia của hàm số tại điểm x0x_0​, tức là Δy=f(x0+Δx)f(x0)\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)).

Giới hạn này biểu diễn tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm x0x_0​.

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Để tính f(x0)f'(x_0)bằng định nghĩa, thực hiện theo 3 bước sau:

Bước 1: Tìm số gia Δy\Delta y

Δy=f(x0+Δx)f(x0)\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)

Bước 2: Rút gọn tỉ số ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}

Chia Δy\Delta y cho Δx\Delta x:

ΔyΔx=f(x0+Δx)f(x0)Δx.\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.

Bước 3: Tính giới hạn limΔx0ΔyΔx\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}

Lấy giới hạn khi Δx0\Delta x \to 0

f(x0)=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δx.f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.

Nếu giới hạn tồn tại và bằng một số cụ thể aa, thì ta kết luận:

f(x0)=a.f'(x_0) = a.

Các công thức đạo hàm cần nhớ

Trong mục này, chúng mình cùng nhắc lại đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương; bảng đạo hàm của một số hàm sơ cấp cơ bản và hàm hợp. Ngoài ra, chúng mình còn được mở rộng thêm về đạo hàm của các phân thức hữu tỉ và đạo hàm cấp cao nữa nhé.

a) Công thức đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử $f=f(x), g=g(x)$ là các hàm số có đạo hàm tại điểm $x$ thuộc khoảng xác định. Ta có:

$(f + g)^{\prime} =f^{\prime}+ g^{\prime}$ ; $(f - g)^{\prime} = f^{\prime} - g^{\prime}$;

$(f . g)^{\prime}= f^{\prime}.g + f g^{\prime}$ ; $\left(\dfrac{f}{g}\right)’=\dfrac{f’ g-f g’}{g^2}, (g=g(x) \neq 0) .$

b) Bảng công thức đạo hàm của một số hàm sơ cấp cơ bản và hàm hợp

Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản thường gặpĐạo hàm của hàm hợp (ở đây $u=u(x)$
$\left(x^n\right)^{\prime}=n \cdot x^{n-1}$$\left(u^n\right)^{\prime}=n \cdot u^{n-1} \cdot u^{\prime}$
$\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^2}$$\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{u^2}$
$(\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$$(\sqrt{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}$
$(\sin x)^{\prime}=\cos x$$(\sin u)^{\prime}=u^{\prime} \cdot \cos u$
$(\cos x)^{\prime}=-\sin x$$(\cos u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot \sin u$
$(\tan x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^2 x}$$(\tan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\cos ^2 u}$
$(\cot x)^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^2 x}$$(\cot u)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{\sin ^2 u}$
$\left(e^x\right)^{\prime}=e^x$$\left(e^u\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^u$
$\left(a^x\right)^{\prime}=a^x \ln a$$\left(a^u\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot a^u \ln a$
$(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$$(\ln u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}$
$\left(\log _a x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}$$\left(\log _a u\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u \ln a}$

c) Công thức tính nhanh đạo hàm của các phân thức hữu tỉ

$\begin{aligned} & \left(\frac{a x+b}{c x+d}\right)^{\prime}=\frac{\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|}{(c x+d)^2}=\frac{a d-b c}{(c x+d)^2} \\ & \left(\frac{a x^2+b x+c}{e x+f}\right)^{\prime}=\frac{a e x^2+2 a f x+(b f-c e)}{(e x+f)^2} \\ & \left(\frac{a_1 x^2+b_1 x+c_1}{a_2 x^2+b_2 x+c_2}\right)^{\prime}=\frac{\left|\begin{array}{ll}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{array}\right| x^2+2\left|\begin{array}{ll}a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2\end{array}\right| x+\left|\begin{array}{ll}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2\end{array}\right|}{\left(a_2 x^2+b_2 x+c_2\right)^2} \\ & \end{aligned}$

d) Công thức đạo hàm cấp cao

- Đạo hàm lũy thừa: $\left(x^m\right)^{(n)}= \begin{cases}m(m-1)(m-2) \ldots(m-n+1) x^{m-n} & (m \geq n) \\ 0 & (m<n)\end{cases}$

- Đạo hàm của hàm số mũ và logarit:

$\left(\log _a x\right)^{(n)}=(-1)^{n-1} \frac{(n-1) !}{\ln a} \frac{1}{x^n}$

$(\ln x)^{(n)}=(-1)^{n-1}(n-1) ! x^{-n}$

$\left(e^{k x}\right)^{(n)}=k^n e^{k x}$

$\left(a^x\right)^{(n)}=(\ln a)^n a^x$

- Đạo hàm của hàm số lượng giác:

$(\sin a x)^{(n)}=a^n \sin \left(a x+\frac{n \pi}{2}\right)$

$(\cos a x)^{(n)}=a^n \cos \left(a x+\frac{n \pi}{2}\right)$

- Đạo hàm của phân thức hữu tỉ: $\left(\frac{1}{a x+b}\right)^{(n)}=(-1)^n a^n n ! \frac{1}{(a x+b)^{n+1}}$

e) Các công thức đạo hàm mở rộng

Trong chương trình môn Toán, việc nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản là chưa đủ. Để giải quyết các bài toán phức tạp hơn, học sinh cần hiểu và áp dụng các công thức đạo hàm mở rộng. Các công thức này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi chuyên đề. Dưới đây là các công thức mở rộng:

Công thức đạo hàm của hàm mũ và logarit:

Đạo hàm của hàm mũ

ddxax=axlna\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a

Đạo hàm của hàm logarit

ddxlogax=1xlna\frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a}

Công thức đạo hàm của các hàm lượng giác:

Đạo hàm của hàm sin, cos nhiều lần

(sinx)(n)=(1)nsin(n)(x)(\sin x)^{(n)} = (-1)^n \sin^{(n)}(x)

(cosx)(n)=(1)ncos(n)(x)(\cos x)^{(n)} = (-1)^n \cos^{(n)}(x)

Đạo hàm của hàm tan và cotan

(tanx)(n)=dndxntanx=n!cos2(x)tan(n1)(x)(\tan x)^{(n)} = \frac{d^n}{dx^n} \tan x = \frac{n!}{\cos^2(x)} \tan^{(n-1)}(x)

(cotx)(n)=(1)nn!sin2(x)cot(n1)(x)(\cot x)^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{\sin^2(x)} \cot^{(n-1)}(x)

Công thức đạo hàm của phân thức hữu tỉ:

Đạo hàm của phân thức bậc cao

(P(x)Q(x))=Q(x)P(x)P(x)Q(x)(Q(x))2\left( \frac{P(x)}{Q(x)} \right)' = \frac{Q(x)P'(x) - P(x)Q'(x)}{(Q(x))^2}

Công thức đạo hàm cấp cao:

Đạo hàm của các hàm lũy thừa và hàm số mũ nhiều lần

(xm)(n)={m(m1)(m2)(mn+1)xmnif mn0if m<n\left(x^m\right)^{(n)} = \begin{cases} m(m-1)(m-2) \ldots(m-n+1) x^{m-n} & \text{if } m \geq n \\ 0 & \text{if } m < n \end{cases}

Đạo hàm của hàm số mũ và logarit nhiều lầnddxekx=kekx\frac{d}{dx} e^{kx} = k e^{kx}

Các quy tắc tính đạo hàm

Trong quá trình giải toán liên quan đến đạo hàm, các quy tắc tính là công cụ vô cùng quan trọng, giúp chúng ta xử lý những bài toán từ đơn giản đến phức tạp một cách nhanh chóng và chính xác. Sau đây là các quy tắc cần nhớ:

Quy tắc tổng và hiệu

(f(x)+g(x))=f(x)+g(x), (f(x)g(x))=f(x)g(x)(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x), \quad (f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)

Quy tắc tích

(f(x)g(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x)(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

Quy tắc thương

(f(x)g(x))=f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)2 (với g(x)0)\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2} \quad \text{(với \(g(x) \neq 0\))}

Quy tắc hàm hợp

y=f(u(x))    y=f(u)u(x)y = f(u(x)) \implies y' = f'(u) \cdot u'(x)

Ứng dụng

Kết hợp các quy tắc linh hoạt để tính đạo hàm cho bài toán phức tạp. 

Ví dụ:
Tính y=x2exsin(x)y = \frac{x^2 \cdot e^x}{\sin(x)} :

Áp dụng quy tắc thương và tích, kết quả:

y=(2xex+x2ex)sin(x)x2excos(x)sin2(x)y' = \frac{(2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x) \cdot \sin(x) - x^2 \cdot e^x \cdot \cos(x)}{\sin^2(x)}

Bài tập áp dụng công thức tính đạo hàm

Các bạn hãy lấy giấy, bút, nháp để làm các bài tập dưới đây nhé. Đây là các dạng bài tập cơ bản sử dụng công thức tính đạo hàm.

Bài tập áp dụng công thức tính đạo hàm
Bài tập đạo hàm

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Hàm số $f(x)=x^3+2 x^2+4 x+5$ có đạo hàm $f^{\prime}(x)$ là:

A. $f^{\prime}(x)=3 x^2+4 x+4$              B. $f^{\prime}(x)=3 x^2+4 x+4+5$

C. $f^{\prime}(x)=3 x^2+2 x+4$              D. $f^{\prime}(x)=3 x+2 x+4$

Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số sau $y=\frac{2 x+1}{x+2}$

A. $-\frac{3}{(x+2)^2}$                 B. $\frac{3}{x+2}$

C. $\frac{3}{(x+2)^2}$                  D. $\frac{2}{(x+2)^2}$

Câu 3. Cho hàm số $f(x)=\sqrt[3]{x}$. Giá trị của $f^{\prime}(8)$ bằng:

A. $\frac{1}{6}$       B. $\frac{1}{12}$     C. $-\frac{1}{6}$      D. $-\frac{1}{12}$

Câu 4. Cho hàm số $y=\frac{3}{1-x}$. Để $y^{\prime}<0$ thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?

A. 1.             B. 3.             C. $\emptyset$.                D. $\mathrm{R}$.

Câu 5. Đạo hàm của hàm số $y=\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^2}$ bằng biểu thức nào sau đây?

A. $-\frac{3}{x^4}+\frac{1}{x^3}$             B. $\frac{-3}{x^4}+\frac{2}{x^3}$

C. $\frac{-3}{x^4}-\frac{2}{x^3}$              D. $\frac{3}{x^4}-\frac{1}{x^3}$

Câu 6. Đạo hàm của hàm số $y=\left(1-x^3\right)^5$ là :

A. $y^{\prime}=5 x^2\left(1-x^3\right)^4$           B. $y^{\prime}=-15 x^2\left(1-x^3\right)^4$

C. $y^{\prime}=-3 x^2\left(1-x^3\right)^4$          D. $y^{\prime}=-5 x^2\left(1-x^3\right)^4$

Câu 7. Nếu hàm số $f(x)=\sqrt{2 x-1}$ thì $f^{\prime}(5)$ bằng

A. 3.             B. $\dfrac{1}{6}$.              C. $\dfrac{1}{3}$.              D. $\dfrac{2}{3}$.

Bài tập tự luận

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. $y=-2 x^4+4 x^2-3 x+1$.

2. $y=x^3-3 x^2+x-1$.

3. $y=\frac{1}{2} x^3+x^4-x^3-\frac{3}{2} x^2+4 x-5$.

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. $y=\left(x^2+x\right)\left(3-x^2\right)$.

2. $y=(2 x-1)^2(2 x+1)^2$.

3. $y=x(2 x-1)(3 x+2)$.

Bài 3. Tìm đạo hàm của hàm số sau

1. $y=\left(2 x^3-3 x^2-6 x+1\right)^2$.

2. $y=\left(x^7+3 x^4+2\right)^{10}$.

3. $y=\left(x^4-2 x^2+x-1\right)^2$.

Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. $y=\frac{2 x-1}{4 x-3}$.

2. $y=\frac{3}{2 x+1}$.

3. $y=\frac{2 x+1}{1-3 x}$.

Bài 5. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. $y=\frac{1}{x+1}-2 x$.

2. $y=\frac{1}{x^2-2 x+1}$.

3. $y=\frac{1}{x^2-3 x+1}$.

Nếu đã làm xong bài phía trên, chúng mình cùng kiểm tra đáp án nhé.

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. A       Câu 2. C       Câu 3. B       Câu 4. C       Câu 5. B       Câu 6. B            Câu 7.

Bài tập tự luận

Bài 1. 

1. $-8x^3+8 x-3$

2. $3x^2-6 x+1$

3. $\frac{5}{2}x^4+4x^3-3x^2-3x+4$

Bài 2. 

1. $-4 x^3-3 x^2+6 x+3$

2. $16 x^2+4$

3. $18 x^2+2 x-2$

Bài 3.

1. $25 x^5-60 x^4-60 x^3+120 x^2+60 x-12$

2. $10\left(x^7+3 x^4+2\right)^9 \cdot\left(7 x^6+12 x^3\right)$

3. $8 x^7-24 x^5+10 x^4+8 x^3-12 x^2+10 x-2$

Bài 4. 

1. $\frac{-2}{(4 x-3)^2}$

2. $\frac{-6}{(2 x+1)^2}$

3. $\frac{5}{(1-3 x)^2}$

Bài 5.

1. $-\frac{1}{(x+1)^2}-2$

2. $-\frac{2}{(x-1)^3}$

3. $ \frac{3-2 x}{\left(x^2-3 x+1\right)^2}$

Hy vọng với việc Trung tâm giá sư online Học là Giỏi tổng hợp các công thức đạo hàm và một số bài tập luyện ở trên sẽ giúp chúng mình nhớ và áp dụng giải được các bài toán tính đạo hàm trong chương trình toán lớp 11 nhé.

 

Chủ đề:

Đăng ký học thử ngay hôm nay

Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!

Bài viết liên quan

Tia là gì? Khái niệm cơ bản và tính chất trong hình học
schedule

Thứ năm, 28/8/2025 04:23 AM

Tia là gì? Khái niệm cơ bản và tính chất trong hình học

Trong hình học, một trong những khái niệm mà học sinh cần nắm vững chính là tia. Nhiều bạn thường đặt câu hỏi: tia là gì và cách phân biệt nó với đoạn thẳng hay đường thẳng như thế nào? Học là Giỏi sẽ giúp bạn tìm hiểu chi tiết về tia là gì, các tính chất quan trọng và những bài tập minh họa dễ hiểu qua bài viết dưới đây nhé.

Đoạn thẳng là gì? Cách tính độ dài đoạn thẳng
schedule

Thứ tư, 27/8/2025 02:03 PM

Đoạn thẳng là gì? Cách tính độ dài đoạn thẳng

Trong chương trình toán học cơ bản, từ những bài toán hình học đầu tiên, học sinh đã được làm quen với đoạn thẳng để nghiên cứu đường thẳng, góc, tam giác hay các hình đa giác phức tạp hơn. Học là Giỏi sẽ giúp bạn hiểu rõ khái niệm, tính chất và các dạng bài tập cũng như nắm bắt được cách tính độ dài đoạn thẳng nhé.

Đường thẳng và những kiến thức nền tảng cần ghi nhớ
schedule

Thứ tư, 27/8/2025 08:20 AM

Đường thẳng và những kiến thức nền tảng cần ghi nhớ

Trong hình học, đường thẳng là một trong những khái niệm cơ bản và xuất hiện nhiều trong các đề thi và bài kiểm tra. Học là Giỏi sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về đặc điểm, ứng dụng và cách giải bài tập liên quan đến đường thẳng thông qua bài viết này nhé.

Hướng dẫn học bảng nhân 6 hiệu quả tại nhà
schedule

Thứ tư, 27/8/2025 03:12 AM

Hướng dẫn học bảng nhân 6 hiệu quả tại nhà

Bảng nhân 6 là một phần không thể thiếu trong bảng cửu chương, thường xuất hiện trong nhiều dạng bài tập và tình huống thực tế. Học là Giỏi sẽ giúp bạn hiểu rõ quy luật, ghi nhớ dễ dàng và thực hành hiệu quả bảng nhân 6.

Tổng hợp công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn dễ nhớ
schedule

Thứ ba, 26/8/2025 09:12 AM

Tổng hợp công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn dễ nhớ

Trong thống kê và xác suất, cách dữ liệu phân tán quanh giá trị trung bình có ý nghĩa trong học tập cũng như thực tiễn. Hai công thức này thường được sử dụng để đo lường mức độ biến động đó chính là phương sai và độ lệch chuẩn. Học là Giỏi sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức cơ bản về phương sai và độ lệch chuẩn, kèm theo bài tập minh họa dễ hiểu.

Tập hợp con là gì? Các trường hợp đặc biệt của tập hợp con
schedule

Thứ hai, 25/8/2025 09:45 AM

Tập hợp con là gì? Các trường hợp đặc biệt của tập hợp con

Khái niệm tập hợp hỗ trợ học sinh làm quen với cách mô tả và phân loại đối tượng trong môn toán cấp 3. Trong đó, tập hợp con là gì luôn là câu hỏi thường gặp bởi đây là kiến thức cơ bản nhưng lại có ứng dụng trong nhiều dạng bài tập. Học là Giỏi sẽ giúp bạn nắm vững khái niệm, tính chất và cách vận dụng tập hợp con một cách rõ ràng, dễ hiểu.

message.svg zalo.png