Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức
Thứ hai, 30/9/2024 07:27 AM
Tác giả: Admin Hoclagioi
Bạn có thể đã gặp phân thức đại số trong các bài tập, nhưng bạn có biết chúng còn có mặt ở cuộc sống hàng ngày của chúng ta? Từ những công trình kiến trúc đến những công thức tài chính phức tạp, công thức toán học này giúp mọi thứ vận hành trơn tru hơn. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá hành trình của phân thức từ lớp học đến đời sống thực tế nhé!
Mục lục [Ẩn]
Phân thức đại số, hay đơn giản là phân thức, là một biểu thức có dạng , trong đó cả A và B đều là các đa thức, và điều quan trọng là B không được bằng 0.
Ở đây, A được gọi là tử thức (hay tử), và B là mẫu thức (hay mẫu).
Lưu ý:
- Mỗi đa thức cũng có thể xem như một phân thức, chỉ khác là mẫu số của nó sẽ bằng 1.
- Số 0 và số 1 cũng được coi là các phân thức đại số.
Ví dụ, biểu thức là một phân thức đại số, vì cả tử số và mẫu số đều là những đa thức.
Điều kiện xác định của phân thức chính là mẫu số phải khác 0. Mỗi khi gặp một phân thức, điều đầu tiên bạn cần kiểm tra là mẫu số có bằng 0 không. Nếu bằng 0, thì phân thức đó không xác định.
Ví dụ, với phân thức , mẫu số sẽ bằng 0 khi . Do đó, để phân thức này tồn tại, phải khác 3. Đây chính là điều kiện xác định của nó.
Hai phân thức được gọi là bằng nhau khi giá trị của chúng giống nhau ở mọi giá trị của biến (miễn là không làm mẫu số bằng 0).
Một cách chính xác hơn, hai phân thức và sẽ bằng nhau nếu và chỉ nếu . Hay nói cách khác, tích chéo giữa tử và mẫu của hai phân thức phải bằng nhau.
Bạn có thể áp dụng một nguyên tắc khá đơn giản: nhân chéo. Khi bạn nhân tử của phân thức thứ nhất với mẫu của phân thức thứ hai, rồi nhân tử của phân thức thứ hai với mẫu của phân thức thứ nhất, nếu hai tích đó bằng nhau, thì hai phân thức chắc chắn là bằng nhau.
Ví dụ: Giả sử bạn có hai phân thức và . Để kiểm tra chúng có bằng nhau không, ta nhân chéo:
- Tử của phân thức thứ nhất với mẫu của phân thức thứ hai:
- Tử của phân thức thứ hai với mẫu của phân thức thứ nhất:
Khi rút gọn cả hai, ta thấy rằng chúng không bằng nhau, vì vậy hai phân thức này không bằng nhau.
Khi bạn nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức (khác 0), phân thức không hề thay đổi giá trị. Nó giống như việc nhân một phân số với 1, kết quả vẫn giữ nguyên, chỉ là trông phức tạp hơn một chút mà thôi.
Tương tự, khi bạn chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử chung, phân thức vẫn không thay đổi. Việc này giống như rút gọn một phân số để làm nó gọn gàng hơn, nhưng vẫn giữ nguyên giá trị ban đầu.
Khi đã hiểu lý thuyết về phân thức, giờ là lúc chúng ta bước vào bài tập vận dụng. Đây là nơi bạn áp dụng những gì đã học để giải quyết các bài toán cụ thể:
Bài 1: Rút gọn phân thức
Rút gọn phân thức sau:
Giải:
Để rút gọn phân thức này, bạn chỉ cần chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của chúng. Ở đây, ta có thể chia cả tử và mẫu cho , và kết quả là:
Bài 2: Cộng phân thức
Cộng hai phân thức sau:
Giải:
Vì cả hai phân thức có cùng mẫu số, bạn chỉ cần cộng tử số lại:
Bài 3: Phép nhân phân thức
Nhân hai phân thức sau:
Giải:
Đầu tiên, hãy rút gọn phân thức nếu có thể. Ta thấy là một hằng đẳng thức đáng nhớ, có thể viết lại thành:
Sau đó, ta nhân hai phân thức:
Kết quả cuối cùng là:
Bài 4: Giải phương trình phân thức
Giải phương trình sau:
Giải:
Để giải phương trình này, đầu tiên nhân chéo hai vế:
Mở ngoặc và rút gọn:
Kết hợp các hạng tử:
Chuyển tất cả về một vế:
Giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:
Từ đó, ta có hai nghiệm:
Phân thức đại số không chỉ nằm đó để làm đẹp điểm số hay gây đau đầu trong những bài kiểm tra mà còn có ứng dụng vô cùng thú vị và hữu ích trong nhiều lĩnh vực đời sống. Dưới đây là các ứng dụng mà phân thức đem lại:
Nếu bạn từng thấy những công thức vật lý phức tạp với hàng loạt biến số, thì đó chính là lúc phân thức được áp dụng. Chúng giúp chúng ta chuyển đổi, đơn giản hóa các phương trình để tìm ra những mối quan hệ ẩn chứa giữa các đại lượng như vận tốc, thời gian, khoảng cách, v.v. Chẳng hạn, khi tính toán đường đi của một vật chuyển động, ta cần đến các phân thức để sắp xếp lại công thức sao cho dễ nhìn hơn.
Trong những bài toán kinh tế, các con số không chỉ dừng lại ở những phép cộng trừ nhân chia đơn giản mà chúng có thể biến hóa khôn lường. Người ta cần những phương pháp toán học phức tạp hơn để xử lý các mô hình kinh tế phức tạp. Từ việc dự đoán lợi nhuận, chi phí đến việc quản lý tài sản, mọi thứ đều có thể trở nên dễ dàng hơn nếu bạn hiểu và vận dụng tốt phân thức.
Trong lĩnh vực xây dựng, mỗi một chi tiết thiết kế, từ đường nét của tòa nhà đến những góc nghiêng của cầu thang, đều có sự tham gia của phân thức. Ví dụ, để tính toán chiều cao của một chiếc cầu hoặc diện tích mặt bằng của một tòa nhà có hình dạng không đồng đều, phân thức sẽ giúp các kiến trúc sư tính toán chính xác mà không mất quá nhiều công sức.
Trong thế giới lập trình, các phân thức không chỉ giúp giảm bớt các phép tính phức tạp mà còn tối ưu hóa hiệu suất của chương trình. Đặc biệt, khi làm việc với các thuật toán liên quan đến đồ họa máy tính, trí tuệ nhân tạo, hay phân tích dữ liệu, phân thứcsẽ giúp các lập trình viên tiết kiệm rất nhiều thời gian và công sức. Chúng ta có thể xem chúng giúp đơn giản hóa mọi vấn đề từ logic đến xử lý số liệu.
Phân thức đại số là phương pháp toán học vô cùng hữu ích giúp chúng ta giải quyết những vấn đề phức tạp. Thế giới luôn tồn tại những bài toán rắc rối mà không phải lúc nào cũng dễ dàng như việc cộng, trừ đơn giản. Nhưng với sự hỗ trợ của phân thức, mọi thứ đều có thể trở nên dễ thở hơn. Vậy nên, Gia sư Học là Giỏi hi vọng bạn sẽ có cái nhìn tổng quát về kiến thức đối với phân thức đại số trong bài này.
Đăng ký học thử ngay hôm nay
Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!
Bài viết xem nhiều
Khám phá các cách tính cạnh huyền tam giác vuông
Thứ ba, 24/9/2024Bí kíp chinh phục các hằng đẳng thức mở rộng
Thứ tư, 14/8/2024Tổng hợp đầy đủ về công thức lượng giác
Thứ tư, 29/5/2024Thể thơ bảy chữ: Từ truyền thống đến hiện đại
Thứ tư, 29/5/2024Thể thơ song thất lục bát trong văn chương Việt Nam
Thứ ba, 28/5/2024Khóa học liên quan
Khóa Luyện thi chuyển cấp 9 vào 10 môn Toán
›
Đánh giá năng lực miễn phí - Toán lớp 11
›
Khóa học tốt trên lớp - Toán lớp 11
›
Khóa luyện thi cấp tốc - Toán lớp 11
›
Khóa Tổng ôn hè - Toán lớp 11
›
Đăng ký học thử ngay hôm nay
Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!
Bài viết liên quan
Thứ ba, 26/11/2024 09:39 AM
Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất của tứ giác nội tiếp
Tứ giác nội tiếp là một trong những khái niệm quan trọng trong hình học lớp 9, đặc biệt khi tìm hiểu về các mối quan hệ giữa các điểm và đường tròn. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá tứ giác nội tiếp này là gì và chúng có các tính chất như thế nào nhé.
Thứ ba, 26/11/2024 04:35 AM
Khám phá lý thuyết về cung chứa góc toán 9
Khái niệm cung chứa góc ở trong toán lớp 9 đóng vai trò quan trọng khi tìm hiểu các tính chất và bài toán liên quan đến hình tròn. Cùng gia sư online Học là Giỏi đi sâu vào khái niệm và tính chất về cung chứa góc của đường tròn nhé.
Thứ hai, 25/11/2024 09:30 AM
Tìm hiểu góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, bên ngoài đường tròn
Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn hoặc bên ngoài đường tròn mang đến những đặc điểm và tính chất riêng. Việc tìm hiểu về các loại góc này hỗ trợ rất nhiều trong việc giải quyết các bài toán hình học phức tạp. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá những khái niệm và định lý về góc có đỉnh nằm bên trong và bên ngoài đường tròn nhé.
Thứ sáu, 22/11/2024 09:18 AM
Chinh phục kiến thức về góc nội tiếp
Trong hình tròn, góc nội tiếp là một chủ đề cơ bản khi chúng có nhiều tính chất cần lưu ý trong hình học phẳng. Đây là khái niệm giúp chúng ta hiểu thêm các định lý liên quan đến đường tròn. Cùng gia sư online Học là Giỏi tìm hiểu về góc nội tiếp có gì đặc biệt và những nội dung quan trọng trong bài học này nhé.
Thứ ba, 19/11/2024 10:06 AM
Khám phá mối liên hệ giữa cung và dây
Mối liên hệ giữa cung và dây cung của đường tròn là chủ đề quan trọng trong chương trình hình học lớp 9. Dù chúng ta đã quá quen thuộc với hình ảnh những đường tròn, ít ai biết rằng cung và dây cung tạo sự liên kết mật thiết trong hình tròn. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi tìm hiểu rõ mối quan hệ này có gì đặc biệt nhé.
Thứ hai, 18/11/2024 10:07 AM
Tổng hợp kiến thức vị trí tương đối của hai đường tròn
Vị trí tương đối của hai đường tròn là kiến thức quan trọng để xét các tính chất của 2 đường tròn này có mối quan hệ gì với nhau. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá các trường hợp cơ bản về vị trí tương đối của hai đường tròn này nhé.