Tổng hợp kiến thức về phân thức đại số

Khái niệm về phân thức đại số

Phân thức đại số, hay đơn giản là phân thức, là một biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$, trong đó cả A và B đều là các đa thức, và điều quan trọng là B không được bằng 0.

Ở đây, A được gọi là tử thức (hay tử), và B là mẫu thức (hay mẫu).

Lưu ý: 

- Mỗi đa thức cũng có thể xem như một phân thức, chỉ khác là mẫu số của nó sẽ bằng 1.

- Số 0 và số 1 cũng được coi là các phân thức đại số.

Ví dụ, biểu thức $\frac{x+2}{x^2-3x+4}$là một phân thức đại số, vì cả tử số $x+2$ và mẫu số $x^2-3x+4$ đều là những đa thức.

Điều kiện xác định 

Điều kiện xác định của phân thức chính là mẫu số phải khác 0. Mỗi khi gặp một phân thức, điều đầu tiên bạn cần kiểm tra là mẫu số có bằng 0 không. Nếu bằng 0, thì phân thức đó không xác định.

Ví dụ, với phân thức $\frac{x+2}{x-3}$​, mẫu số $x-3$sẽ bằng 0 khi $x = 3$. Do đó, để phân thức này tồn tại, $x$ phải khác 3. Đây chính là điều kiện xác định của nó.

Hai phân thức bằng nhau

Hai phân thức được gọi là bằng nhau khi giá trị của chúng giống nhau ở mọi giá trị của biến (miễn là không làm mẫu số bằng 0).

Một cách chính xác hơn, hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$​ sẽ bằng nhau nếu và chỉ nếu $A \times D = C \times B$. Hay nói cách khác, tích chéo giữa tử và mẫu của hai phân thức phải bằng nhau.

Cách kiểm tra hai phân thức bằng nhau

Bạn có thể áp dụng một nguyên tắc khá đơn giản: nhân chéo. Khi bạn nhân tử của phân thức thứ nhất với mẫu của phân thức thứ hai, rồi nhân tử của phân thức thứ hai với mẫu của phân thức thứ nhất, nếu hai tích đó bằng nhau, thì hai phân thức chắc chắn là bằng nhau.

Ví dụ: Giả sử bạn có hai phân thức $\frac{2x}{x+1}$và $\frac{4}{2(x+1)}$. Để kiểm tra chúng có bằng nhau không, ta nhân chéo:

- Tử của phân thức thứ nhất với mẫu của phân thức thứ hai: $2x \times 2(x+1) = 4x(x+1)$

- Tử của phân thức thứ hai với mẫu của phân thức thứ nhất: $4 \times (x+1) = 4(x+1)$

Khi rút gọn cả hai, ta thấy rằng chúng không bằng nhau, vì vậy hai phân thức này không bằng nhau.

Tính chất cơ bản của phân thức

Khi bạn nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức (khác 0), phân thức không hề thay đổi giá trị. Nó giống như việc nhân một phân số với 1, kết quả vẫn giữ nguyên, chỉ là trông phức tạp hơn một chút mà thôi.

$\frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C}\text{(với }C\text{ là đa thức khác 0)}$

Tương tự, khi bạn chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử chung, phân thức vẫn không thay đổi. Việc này giống như rút gọn một phân số để làm nó gọn gàng hơn, nhưng vẫn giữ nguyên giá trị ban đầu.

$\frac{A}{B}=\frac{A:D}{B:D}\text{(với }D\text{ là nhân tử chung của }A\text{ và }B)$

Bài tập vận dụng

Khi đã hiểu lý thuyết về phân thức, giờ là lúc chúng ta bước vào bài tập vận dụng. Đây là nơi bạn áp dụng những gì đã học để giải quyết các bài toán cụ thể:

Bài tập cơ bản:

Bài 1: Rút gọn phân thức

Rút gọn phân thức sau:

$\frac{6x^2}{3x}$

Giải:
Để rút gọn phân thức này, bạn chỉ cần chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của chúng. Ở đây, ta có thể chia cả tử và mẫu cho $3x$, và kết quả là:

$\frac{6x^2}{3x} = 2x$

Bài 2: Cộng phân thức

Cộng hai phân thức sau:

$\frac{2}{x} + \frac{3}{x}$

Giải:
Vì cả hai phân thức có cùng mẫu số, bạn chỉ cần cộng tử số lại:

$\frac{2}{x} + \frac{3}{x} = \frac{2 + 3}{x} = \frac{5}{x}$

Bài tập nâng cao: 

Bài 3: Phép nhân phân thức

Nhân hai phân thức sau:

$\frac{x+1}{2x-3} \times \frac{4x}{x^2-1}$

Giải:
Đầu tiên, hãy rút gọn phân thức nếu có thể. Ta thấy $x^2 - 1$ là một hằng đẳng thức đáng nhớ, có thể viết lại thành:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Sau đó, ta nhân hai phân thức:

$\frac{x+1}{2x-3} \times \frac{4x}{(x-1)(x+1)} = \frac{4x}{(2x-3)(x-1)}$

Kết quả cuối cùng là:

$\frac{4x}{(2x-3)(x-1)}$

Bài 4: Giải phương trình phân thức

Giải phương trình sau:

$\frac{2x+3}{x-1} = \frac{4x}{x+2}$

Giải:
Để giải phương trình này, đầu tiên nhân chéo hai vế:

$(2x + 3)(x + 2) = 4x(x - 1)$

Mở ngoặc và rút gọn:

$2x^2 + 4x + 3x + 6 = 4x^2 - 4x$

Kết hợp các hạng tử:

$2x^2 + 7x + 6 = 4x^2 - 4x$

Chuyển tất cả về một vế:

$0 = 2x^2 - 11x - 6$

Giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

$x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2}$

Từ đó, ta có hai nghiệm:

$x_1=3 và x_2=-\frac{2}{3}$

Ứng dụng thực tế

Phân thức đại số không chỉ nằm đó để làm đẹp điểm số hay gây đau đầu trong những bài kiểm tra mà còn có ứng dụng vô cùng thú vị và hữu ích trong nhiều lĩnh vực đời sống. Dưới đây là các ứng dụng mà phân thức đem lại:

Giải quyết các bài toán liên quan đến vật lý

Nếu bạn từng thấy những công thức vật lý phức tạp với hàng loạt biến số, thì đó chính là lúc phân thức được áp dụng. Chúng giúp chúng ta chuyển đổi, đơn giản hóa các phương trình để tìm ra những mối quan hệ ẩn chứa giữa các đại lượng như vận tốc, thời gian, khoảng cách, v.v. Chẳng hạn, khi tính toán đường đi của một vật chuyển động, ta cần đến các phân thức để sắp xếp lại công thức sao cho dễ nhìn hơn. 

Ứng dụng trong kinh tế và tài chính

Trong những bài toán kinh tế, các con số không chỉ dừng lại ở những phép cộng trừ nhân chia đơn giản mà chúng có thể biến hóa khôn lường. Người ta cần những phương pháp toán học phức tạp hơn để xử lý các mô hình kinh tế phức tạp. Từ việc dự đoán lợi nhuận, chi phí đến việc quản lý tài sản, mọi thứ đều có thể trở nên dễ dàng hơn nếu bạn hiểu và vận dụng tốt phân thức.

Thiết kế và kiến trúc

Trong lĩnh vực xây dựng, mỗi một chi tiết thiết kế, từ đường nét của tòa nhà đến những góc nghiêng của cầu thang, đều có sự tham gia của phân thức. Ví dụ, để tính toán chiều cao của một chiếc cầu hoặc diện tích mặt bằng của một tòa nhà có hình dạng không đồng đều, phân thức sẽ giúp các kiến trúc sư tính toán chính xác mà không mất quá nhiều công sức. 

Giải quyết các bài toán trong lập trình máy tính

Trong thế giới lập trình, các phân thức không chỉ giúp giảm bớt các phép tính phức tạp mà còn tối ưu hóa hiệu suất của chương trình. Đặc biệt, khi làm việc với các thuật toán liên quan đến đồ họa máy tính, trí tuệ nhân tạo, hay phân tích dữ liệu, phân thứcsẽ giúp các lập trình viên tiết kiệm rất nhiều thời gian và công sức. Chúng ta có thể xem chúng giúp đơn giản hóa mọi vấn đề từ logic đến xử lý số liệu.

Kết luận

Phân thức đại số là phương pháp toán học vô cùng hữu ích giúp chúng ta giải quyết những vấn đề phức tạp. Thế giới luôn tồn tại những bài toán rắc rối mà không phải lúc nào cũng dễ dàng như việc cộng, trừ đơn giản. Nhưng với sự hỗ trợ của phân thức, mọi thứ đều có thể trở nên dễ thở hơn. Vậy nên, Gia sư Học là Giỏi hi vọng bạn sẽ có cái nhìn tổng quát về kiến thức đối với phân thức đại số trong bài này.