Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức
Thứ hai, 30/9/2024 07:27 AM
Tác giả: Admin Hoclagioi
Bạn có thể đã gặp phân thức đại số trong các bài tập, nhưng bạn có biết chúng còn có mặt ở cuộc sống hàng ngày của chúng ta? Từ những công trình kiến trúc đến những công thức tài chính phức tạp, công thức toán học này giúp mọi thứ vận hành trơn tru hơn. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá hành trình của phân thức từ lớp học đến đời sống thực tế nhé!
Mục lục [Ẩn]
Phân thức đại số, hay đơn giản là phân thức, là một biểu thức có dạng , trong đó cả A và B đều là các đa thức, và điều quan trọng là B không được bằng 0.
Ở đây, A được gọi là tử thức (hay tử), và B là mẫu thức (hay mẫu).
Lưu ý:
- Mỗi đa thức cũng có thể xem như một phân thức, chỉ khác là mẫu số của nó sẽ bằng 1.
- Số 0 và số 1 cũng được coi là các phân thức đại số.
Ví dụ, biểu thức là một phân thức đại số, vì cả tử số và mẫu số đều là những đa thức.
Điều kiện xác định của phân thức chính là mẫu số phải khác 0. Mỗi khi gặp một phân thức, điều đầu tiên bạn cần kiểm tra là mẫu số có bằng 0 không. Nếu bằng 0, thì phân thức đó không xác định.
Ví dụ, với phân thức , mẫu số sẽ bằng 0 khi . Do đó, để phân thức này tồn tại, phải khác 3. Đây chính là điều kiện xác định của nó.
Hai phân thức được gọi là bằng nhau khi giá trị của chúng giống nhau ở mọi giá trị của biến (miễn là không làm mẫu số bằng 0).
Một cách chính xác hơn, hai phân thức và sẽ bằng nhau nếu và chỉ nếu . Hay nói cách khác, tích chéo giữa tử và mẫu của hai phân thức phải bằng nhau.
Bạn có thể áp dụng một nguyên tắc khá đơn giản: nhân chéo. Khi bạn nhân tử của phân thức thứ nhất với mẫu của phân thức thứ hai, rồi nhân tử của phân thức thứ hai với mẫu của phân thức thứ nhất, nếu hai tích đó bằng nhau, thì hai phân thức chắc chắn là bằng nhau.
Ví dụ: Giả sử bạn có hai phân thức và . Để kiểm tra chúng có bằng nhau không, ta nhân chéo:
- Tử của phân thức thứ nhất với mẫu của phân thức thứ hai:
- Tử của phân thức thứ hai với mẫu của phân thức thứ nhất:
Khi rút gọn cả hai, ta thấy rằng chúng không bằng nhau, vì vậy hai phân thức này không bằng nhau.
Khi bạn nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức (khác 0), phân thức không hề thay đổi giá trị. Nó giống như việc nhân một phân số với 1, kết quả vẫn giữ nguyên, chỉ là trông phức tạp hơn một chút mà thôi.
Tương tự, khi bạn chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử chung, phân thức vẫn không thay đổi. Việc này giống như rút gọn một phân số để làm nó gọn gàng hơn, nhưng vẫn giữ nguyên giá trị ban đầu.
Khi đã hiểu lý thuyết về phân thức, giờ là lúc chúng ta bước vào bài tập vận dụng. Đây là nơi bạn áp dụng những gì đã học để giải quyết các bài toán cụ thể:
Bài 1: Rút gọn phân thức
Rút gọn phân thức sau:
Giải:
Để rút gọn phân thức này, bạn chỉ cần chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của chúng. Ở đây, ta có thể chia cả tử và mẫu cho , và kết quả là:
Bài 2: Cộng phân thức
Cộng hai phân thức sau:
Giải:
Vì cả hai phân thức có cùng mẫu số, bạn chỉ cần cộng tử số lại:
Bài 3: Phép nhân phân thức
Nhân hai phân thức sau:
Giải:
Đầu tiên, hãy rút gọn phân thức nếu có thể. Ta thấy là một hằng đẳng thức đáng nhớ, có thể viết lại thành:
Sau đó, ta nhân hai phân thức:
Kết quả cuối cùng là:
Bài 4: Giải phương trình phân thức
Giải phương trình sau:
Giải:
Để giải phương trình này, đầu tiên nhân chéo hai vế:
Mở ngoặc và rút gọn:
Kết hợp các hạng tử:
Chuyển tất cả về một vế:
Giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:
Từ đó, ta có hai nghiệm:
Phân thức đại số không chỉ nằm đó để làm đẹp điểm số hay gây đau đầu trong những bài kiểm tra mà còn có ứng dụng vô cùng thú vị và hữu ích trong nhiều lĩnh vực đời sống. Dưới đây là các ứng dụng mà phân thức đem lại:
Nếu bạn từng thấy những công thức vật lý phức tạp với hàng loạt biến số, thì đó chính là lúc phân thức được áp dụng. Chúng giúp chúng ta chuyển đổi, đơn giản hóa các phương trình để tìm ra những mối quan hệ ẩn chứa giữa các đại lượng như vận tốc, thời gian, khoảng cách, v.v. Chẳng hạn, khi tính toán đường đi của một vật chuyển động, ta cần đến các phân thức để sắp xếp lại công thức sao cho dễ nhìn hơn.
Trong những bài toán kinh tế, các con số không chỉ dừng lại ở những phép cộng trừ nhân chia đơn giản mà chúng có thể biến hóa khôn lường. Người ta cần những phương pháp toán học phức tạp hơn để xử lý các mô hình kinh tế phức tạp. Từ việc dự đoán lợi nhuận, chi phí đến việc quản lý tài sản, mọi thứ đều có thể trở nên dễ dàng hơn nếu bạn hiểu và vận dụng tốt phân thức.
Trong lĩnh vực xây dựng, mỗi một chi tiết thiết kế, từ đường nét của tòa nhà đến những góc nghiêng của cầu thang, đều có sự tham gia của phân thức. Ví dụ, để tính toán chiều cao của một chiếc cầu hoặc diện tích mặt bằng của một tòa nhà có hình dạng không đồng đều, phân thức sẽ giúp các kiến trúc sư tính toán chính xác mà không mất quá nhiều công sức.
Trong thế giới lập trình, các phân thức không chỉ giúp giảm bớt các phép tính phức tạp mà còn tối ưu hóa hiệu suất của chương trình. Đặc biệt, khi làm việc với các thuật toán liên quan đến đồ họa máy tính, trí tuệ nhân tạo, hay phân tích dữ liệu, phân thứcsẽ giúp các lập trình viên tiết kiệm rất nhiều thời gian và công sức. Chúng ta có thể xem chúng giúp đơn giản hóa mọi vấn đề từ logic đến xử lý số liệu.
Phân thức đại số là phương pháp toán học vô cùng hữu ích giúp chúng ta giải quyết những vấn đề phức tạp. Thế giới luôn tồn tại những bài toán rắc rối mà không phải lúc nào cũng dễ dàng như việc cộng, trừ đơn giản. Nhưng với sự hỗ trợ của phân thức, mọi thứ đều có thể trở nên dễ thở hơn. Vậy nên, Gia sư Học là Giỏi hi vọng bạn sẽ có cái nhìn tổng quát về kiến thức đối với phân thức đại số trong bài này.
Đăng ký học thử ngay hôm nay
Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!
Khóa học liên quan
Đánh giá năng lực miễn phí - Toán lớp 11
›
Khóa học tốt trên lớp - Toán lớp 11
›
Khóa luyện thi cấp tốc - Toán lớp 11
›
Khóa Tổng ôn hè - Toán lớp 11
›
Đánh giá năng lực miễn phí - Toán lớp 10
›
Đăng ký học thử ngay hôm nay
Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!
Bài viết liên quan
Thứ tư, 2/10/2024 07:05 AM
Tổng hợp kiến thức phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương trình chứa ẩn ở mẫu chính là một trong những bài toán khó nhằn đối với những bạn học sinh lớp 8. Ẩn số trong phương trình không chỉ xuất hiện ở những vị trí quen thuộc mà còn nằm sâu trong các mẫu số, đòi hỏi chúng ta phải biết cách để giải. Cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá xem làm sao để giải quyết những phương trình này một cách dễ dàng nhé.
Thứ ba, 1/10/2024 06:40 AM
Chinh phục lý thuyết cơ bản của phương trình tích
Phương trình tích là một phương pháp toán học cực kì hữu dụng giúp chúng ta giải quyết nhiều dạng bài toán khác nhau. Dạng phương trình này cho chúng ta một cách tiếp cận đầy hấp dẫn và hiệu quả trong việc tìm ra lời giải cho các phương trình. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá sâu hơn về lý thuyết và cách giải dạng phương trình nhé.
Thứ hai, 30/9/2024 09:45 AM
Khám phá phương trình bậc nhất 1 ẩn
Phương trình bậc nhất 1 ẩn là một bài toán cơ bản nhất mà chúng ta thường xuyên gặp trong các dạng toán từ dễ đến phức tạp. Dù tên gọi nghe có vẻ bí ẩn nhưng nếu nắm vững nguyên lý cơ bản, bạn sẽ thấy việc giải chúng chẳng khó khăn gì. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá dạng phương trình bậc nhất trong toán học này nhé.
Thứ tư, 25/9/2024 09:43 AM
Tìm hiểu cách tính cạnh huyền tam giác vuông cân
Khi nhắc đến hình học, chắc hẳn bạn đã quen thuộc với khái niệm tam giác, nhưng tam giác vuông cân lại là một trường hợp đặc biệt mà bạn không thể bỏ qua. Công thức tính cạnh huyền tam giác vuông cân không chỉ giúp chúng ta dễ dàng tính toán trong hình học mà còn là nền tảng cho nhiều định lý quan trọng đối với các dạng bài tập nâng cao. Vì vậy, Gia sư online Học là Giỏi sẽ cùng bạn khám phá về cách tính cạnh huyền trong tam giác này nhé.
Thứ tư, 25/9/2024 06:32 AM
Công thức và cách chứng minh đạo hàm sin
Đạo hàm sin là một trong những kiến thức cơ bản nhưng cực kỳ quan trọng trong toán học, đặc biệt là lượng giác. Dạng đạo hàm này có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật, và kinh tế giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự thay đổi và chuyển động trong thế giới xung quanh. Gia sư online Học là Giỏi sẽ chỉ cho bạn về dạng đạo hàm đặc biệt này nhé.
Thứ ba, 24/9/2024 10:38 AM
Khám phá các cách tính cạnh huyền tam giác vuông
Tính cạnh huyền trong tam giác vuông là bước quan trọng trong tính toán hình học. Từ việc đo chiều cao tòa nhà, tính khoảng cách hay thậm chí là thiết kế mô hình 3D, việc tính cạnh huyền giúp giải quyết nhiều vấn đề thực tế. Gia sư online Học là Giỏi sẽ cùng bạn khám phá các cách tính trong tam giác đặc biệt này.