Khám phá phương pháp chia đa thức cho đơn thức

Định nghĩa phép chia đa thức cho đơn thức

Khi bạn chia một đa thức A cho một đơn thức B với B≠0. Ta nói rằng A chia hết cho B khi tồn tại một biểu thức Q (có thể là một đa thức hoặc đơn thức) sao cho A=B.Q.

Trong đó:

- A là đa thức được chia.

- B là đơn thức dùng để chia.

- Q là thương của phép chia.

Ký hiệu: $Q=\frac{A}{B}$ hoặc $Q=A:B$.

Quy tắc chia đa thức cho đơn thức

Để thực hiện phép chia đa thức (trong trường hợp mỗi hạng tử của đa thức đều chia hết cho đơn thức), ta tiến hành chia từng hạng tử sau đó cộng các kết quả lại với nhau. Cụ thể như sau:

Chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức

Điều đầu tiên cần nhớ là hãy tách từng hạng tử trong đa thức ra. Với mỗi hạng tử, chúng ta sẽ chia riêng cho đơn thức.

Ví dụ, giả sử bạn có đa thức P(x)=$8x^3+4x^2-12x$ và đơn thức chia là Q(x)=4x. Bây giờ, chúng ta tiến hành chia từng hạng tử trong P(x) cho Q(x):

- Chia $8x^3$ cho 4x: kết quả là $2x^2$

- Chia $4x^2$ cho 4x: kết quả là x

- Chia −12x cho 4x: kết quả là −3

Vậy là với mỗi hạng tử, chúng ta đã thực hiện phép chia với đơn thức. 

Cộng các kết quả lại với nhau

Sau khi chia xong từng hạng tử, chúng ta chỉ cần tập hợp lại tất cả các kết quả. Giống như việc bạn chia kẹo cho mọi người và tập hợp từng phần lại để biết tổng số kẹo mỗi người nhận được. Kết quả của phép chia trên sẽ là:

$\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=2x^2+x-3$

Ví dụ: Cho một đa thức như sau:

P(x)=$6x^3+3x^2-9x$ và đơn thức Q(x)=3x.

Khi thực hiện phép chia, ta sẽ chia từng hạng tử của P(x) cho Q(x), cụ thể là:

- Chia $6x^3$ cho 3x được $2x^2$

- Chia $3x^2$ cho 3x được x

- Chia −9x cho 3x được −3

Kết quả của phép chia sẽ là:

$\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=2x^2+x-3$

Chú ý: Trường hợp nếu đa thức A có thể phân tích thành nhân tử, ta thường phân tích trước để rút gọn nhanh hơn. 

Ứng dụng của phép chia đa thức cho đơn thức

Phép chia đa thức là dạng bài tập hữu ích và rất dễ dàng ứng dụng thực tế trong toán học. Chúng ta sẽ khám phá ba ứng dụng chính của phép chia này: rút gọn biểu thức đại số, giải phương trình và bất phương trình, và thậm chí là tính toán diện tích và thể tích. 

Rút gọn biểu thức đại số

Khi biểu thức trở nên phức tạp với quá nhiều hạng tử, phép chia đa thức này chính là một cách hữu hiệu để rút gọn mọi thứ. Bằng cách chia mỗi hạng tử trong đa thức cho một đơn thức, bạn sẽ loại bỏ được các hệ số hoặc biến thừa, giúp biểu thức trở nên dễ dàng hơn.

Giải phương trình và bất phương trình

Phép chia đa thức cũng xuất hiện rất nhiều khi chúng ta giải phương trình hoặc bất phương trình. Ví dụ, trong các phương trình có nhiều biến và bậc cao, phép chia này giúp ta đơn giản hóa các thành phần của phương trình để dễ tìm ra nghiệm. Đôi khi, việc rút gọn phương trình bằng cách chia cho đơn thức có thể khiến phương trình từ phức tạp trở nên dễ hiểu hơn và giúp bạn nhìn ra cách giải quyết nhanh chóng.

Tính Toán Diện Tích và Thể Tích

Đối với những bài toán liên quan đến hình học không gian, đa thức thường xuất hiện khi chúng ta tính diện tích bề mặt hoặc thể tích của các hình dạng phức tạp. Phép chia đa thức này sẽ giúp bạn rút gọn các công thức hoặc biểu thức tính toán trong quá trình giải bài.

Bài tập chia đa thức

Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.

Bài tập chia đa thức cho đơn thức cơ bản

Bài 1: Thực hiện phép tính

$a) ( 6x^4{y}^3 + 8x^3{y}^2 - 4x{y}^2 ):xy.$

$b) ( - 2x^5 + 6x^2 - 4x^3 ):2x^2$

Lời giải:

$$\begin{gathered} a) Ta có: ( 6x^4{y}^3 + 8x^3{y}^2 - 4x{y}^2 ) : xy \\ = ( 6x^4{y}^3:xy ) + ( 8x^3{y}^2:xy ) - ( 4x{y}^2:xy ) \\ = 6x^{4-1}.y^{3-1}+ 8x^{3-1}.y^{2-1} - 4x^{1-1}.y^{2-1 } \\ = 6x^3{y}^2 + 8x^{2}y - 4y \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} b) Ta có: ( - 2x^5 + 6x^2 - 4x^3 ) : 2x^2 \\ = ( - 2x^5:2x^{2 }) + ( 6x^2:2x^2 ) - ( 4x^3:2x^2 ) \\ = - x^{5-2 }+ {3x}^{2-2} - {2x}^{3-2} \\ = - x^3 - 2x + 3. \end{gathered}$$

Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:

$a) ( \frac{1}{2}{a}^2{x}^4 + \frac{4}{3}a{x}^3 - \frac{2}{3}a{x}^2 ):( \frac{- 2}{3}a{x}^2 )$

$b) 4( \frac{3}{4}x - 1 ) + ( 12x^{2 }- 3x ):( - 3x ) - ( 2x + 1 )$

Lời giải:

$$\begin{gathered} a) Ta có: (\frac{ 1}{2}{a}^2{x}^4 + \frac{4}{3}a{x}^3 - \frac{2}{3}a{x}^2 ):( \frac{- 2}{3}a{x}^2 ) \\ = ( \frac{ 1}{2}{a}^2{x}^4: \frac{- 2}{3}a{x}^2 ) + ( \frac{4}{3}a{x}^3: \frac{- 2}{3}a{x}^2 ) + ( - \frac{2}{3}a{x}^2 : \frac{- 2}{3}a{x}^2 ) \\ = \frac{- 3}{4}a{x}^{2 }- 2x + 1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} b) Ta có 4( \frac{3}{4}x - 1 ) + ( 12x^2 - 3x ):( -3x ) - ( 2x + 1 ) \\ = 4( \frac{3}{4}x - 1 ) + [ ( 12x^2 : (-3x) ) + ( - 3x : (-3x) ) ] - ( 2x + 1 ) \\ = 4( \frac{3}{4}x - 1 ) + ( - 4x + 1 ) - ( 2x + 1 ) \\ = 3x - 4 + 1 - 4x - 2x - 1 \\ = - 3x - 4 \end{gathered}$$

Bài tập chia đa thức cho đơn thức nâng cao

Bài 3: Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B với:

$$\begin{gathered} A = 7x^{n - 1}{y}^5 - 5x^3{y}^4; \\ B = 5x^2{y}^n \end{gathered}$$

Lời giải:

Ta có $A:B = ( 7x^{n - 1} y^5 - 5x^3{y}^4 ):( 5x^2{y}^n ) = \frac{7}{5}{x}^{n - 3} y^{5 - n} - x{y}^{4 - n}$

Theo đề bài đa thức A chia hết cho đơn thức B

$\iff \left\{\begin{array}{c}n-3\ge 0\\ 4-n\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}n\ge 3\\ n\le 4\end{array}\right.\Rightarrow n\in \left\{3;4\right\}$

Vậy giá trị n cần tìm là n∈{3; 4}

Bài 4: Tìm đa thức A biết

$a) A.6x^4 = 24x^9 - 30x^8 +\frac{ 1}{2}{x}^5$

$b) A.( \frac{- 5}{2}{x}^3{y}^2 ) = 5x^6{y}^4 + \frac{15}{2}{x}^5{y}^3 - 10x^3{y}^2$

Lời giải:

$$\begin{gathered} a) Ta có A.6x^4 = 24x^9 - 30x^8 + \frac{1}{2}{x}^5 \\ \Rightarrow A = ( 24x^9 - 30x^8 + \frac{1}{2}{x}^5 ):(6x^4 ) \\ \iff A = \frac{24}{6}{x}^{9-4} - \frac{30}{6}{x}^{8-4} + \frac{1}{12}{x}^{5-4}= 4x^5 - 5x^4 + \frac{1}{12}x \\ Vậy A = 4x^5 - 5x^4 + \frac{1}{12}x . \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} b) Ta có A.( \frac{- 5}{2}{x}^3{y}^2 ) = 5x^6{y}^4 + \frac{15}{2}{x}^5{y}^3 - 10x^3{y}^2 \\ \Rightarrow A = (5x^6{y}^4 + \frac{15}{2}{x}^5{y}^3 - 10x^3{y}^2 ):( \frac{- 5}{2}{x}^3{y}^2 ) \\ \iff A = - 2x^{6 - 3}{y}^{4 - 2} - 3x^{5 - 3}{y}^{3 - 2} + 4x^{3 - 3}{y}^{2 - 2} \\ \iff A = - 2x^3{y}^2 - 3x^{2}y + 4. \\ Vậy A = - 2x^3{y}^2 - 3x^{2}y + 4. \end{gathered}$$

Kết luận

Vậy là chúng ta đã cùng nhau đi qua những quy tắc và ứng dụng của phép chia đa thức cho đơn thức. Phép chia này giúp biến đổi các biểu thức phức tạp trở nên dễ nhìn và dễ hiểu hơn, giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hi vọng bạn có thể dễ dàng và tự tin giải các bài toán các phép chia đa thức này nhé.