Lý thuyết và bài tập đại lượng tỉ lệ nghịch Toán 7

Lý thuyết về đại lượng tỉ lệ nghịch

Hai đại lượng x và y được gọi là tỉ lệ nghịch nếu khi một đại lượng tăng lên bao nhiêu lần thì đại lượng còn lại giảm đi bấy nhiêu lần, đồng thời giữa chúng tồn tại một tích không đổi.

Mối quan hệ tỉ lệ nghịch được biểu diễn theo công thức:

y = a/x hoặc x.y = ( a khác 0)

Trong đó a là hệ số tỉ lệ (hằng số tỉ lệ). Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số a thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo hệ số đó.

Ý nghĩa của hệ số tỉ lệ a:

- Hệ số a là tích của hai giá trị tương ứng:

a=x1.y1

- Chỉ cần biết một cặp giá trị tương ứng là có thể xác định mối quan hệ tỉ lệ nghịch.

- Hệ số không thay đổi trong toàn bộ quá trình biến đổi của hai đại lượng.

Ví dụ: Hai đại lượng tỉ lệ nghịch theo hệ số a = 12

Có thể thấy rằng khi x tăng thì y giảm và tích x.y luôn bằng 12.

Tính chất

Tính chất 1: Tích không đổi
Nếu hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số a thì tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi:

x1y1 = x2y2 = x3y3 = ⋯ = a

Tính chất này được dùng để nhận biết và kiểm tra hai đại lượng có tỉ lệ nghịch hay không.

Tính chất 2: Quan hệ giữa các tỉ số (nghịch đảo)
Với hai cặp giá trị tương ứng (x1,y1) và (x2,y2), ta có:

x1/x2 = y2/y1​​

Nghĩa là tỉ số hai giá trị của đại lượng này bằng nghịch đảo tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

Tính chất 3: Tính chất “thuận - nghịch”
Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số a thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo cùng hệ số đó. Vì vậy, hai đại lượng được gọi chung là tỉ lệ nghịch với nhau.

Các dạng bài tập thường gặp về đại lượng tỉ lệ nghịch

Cũng giống các bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận, các bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch thường xoay quanh việc nhận biết mối quan hệ giữa hai đại lượng, thiết lập bảng giá trị của hai đại lượng và giải các bài toán thực tế,... Dưới đây là các dạng bài tập thường gặp về chuyên đề này và cách giải các bài tập đó:

Dạng 1: Kiểm tra mối quan hệ tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng

Phương pháp giải

Để kiểm tra hai đại lượng x và y có tỉ lệ nghịch hay không, ta tính tích các cặp giá trị tương ứng.

- Nếu các tích bằng nhau =>  hai đại lượng tỉ lệ nghịch

- Nếu các tích khác nhau => hai đại lượng không tỉ lệ nghịch
Bài tập

Bài 1. Cho bảng sau. Hãy kiểm tra xem hai đại lượng x và y có tỉ lệ nghịch với nhau hay không.

Lời giải:
Ta có:
2·6 = 12; 4·3 = 12; 5·2,4 = 12

Vì các tích bằng nhau nên hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau.

Bài 2.

Cho các giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y như sau:
x=3;4;6 và y=2;3;4.
Hãy kiểm tra xem x và y có tỉ lệ nghịch hay không.

Lời giải:
Ta có:
3·2 = 6; 4·3 = 12 ; 6.4 = 24

Vì các tích không bằng nhau nên hai đại lượng này không tỉ lệ nghịch.

Bài 3. Cho bảng giá trị sau của hai đại lượng x và y:

Hãy kiểm tra xem hai đại lượng x và y có tỉ lệ nghịch với nhau hay không.

Lời giải:
Ta có: 

10·5=50
20·5=100
25·4=100
40·2,5=100

Các tích của các cặp số không bằng nhau =>  hai đại lượng không tỉ lệ nghịch.

Bài 4.

Cho bảng sau. Hãy kiểm tra xem hai đại lượng có tỉ lệ nghịch không.

Lời giải:
Ta có:

2·15 = 30; 5·6 = 30; 10·3 = 30. Do tích các cặp số không đổi nên hai đại lượng này tỉ lệ nghịch.

Bài 5. Diện tích hình tròn và bán kính có tỉ lệ nghịch không? Giải thích.

Lời giải:
S=πR^2  =>  R thay đổi, tích không cố định. Do đó, hai đại lượng này không tỉ lệ nghịch.

Bài 6. Biết z tỉ lệ thuận với y theo hệ số 2 và y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số 3. Hãy kiểm tra xem z có tỉ lệ nghịch với x hay không.

Lời giải:
z = 2y; y = 3/x =>  z = 6/x =>  z tỉ lệ nghịch với x.

Dạng 2: Thiết lập bảng giá trị và tìm đại lượng chưa biết

Phương pháp giải

Đối với hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định hệ số tỉ lệ a bằng tích của một cặp giá trị tương ứng a=x1y1

Bước 2: Viết công thức liên hệ y=ax​

Bước 3: Thay giá trị đã biết để tìm đại lượng chưa biết hoặc hoàn thành bảng

Bài tập

Bài 1. Cho hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau. Biết rằng khi x = 2 thì y = 6.
Hãy tính giá trị của y khi x = 3.

Lời giải:
Vì x và y tỉ lệ nghịch nên xy = a.
Khi x = 2,  y = 6,ta có a = 2⋅6 =12.
Do đó y = 12/x.

Khi x = 3 thì y = 12/3 = 4.

Vậy giá trị cần tìm là y = 4.

Bài 2. Cho hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch. Biết rằng khi x = 5 thì y = 8.
Hãy tìm giá trị của x khi y = 10.

Lời giải:
Vì hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên x.y = a.
Khi x = 5,  y = 8 ta có a = 5⋅8 = 40.

Do đó x = 40​.
Khi y = 10 thì x = 40/10 ​= 4.

Vậy x = 4

Bài 3.

Cho hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ a = 12.
Hãy lập bảng giá trị tương ứng của y với các giá trị x = 1;2;3;4.

Lời giải:
Vì a = 12 nên y = 12/x​

Ta có bảng:

Bài 4. Cho hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch. Biết rằng khi x = 4 thì y = 5.
Hãy tìm giá trị của y khi x = 2 và khi x = 10.

Lời giải:
Vì x.y = a nên a = 4⋅5 = 20 
Suy ra y = 20/x​.

Khi x = 2 =>  y = 10.
Khi x = 10 =>  y = 2.

Vậy các giá trị cần tìm là y = 10 và y = 2.

Bài 5. Cho hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch. Biết rằng khi x = 2 và x = 4 thì các giá trị tương ứng của y là y1​ và y2​. Đồng thời y1+y2 = 9.
Hãy tìm y1,  y2​.

Lời giải:
Vì hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên 2y1 = 4y2​.
Suy ra y1 = 2y2.

Thay vào điều kiện y1 + y2 = 9, ta được:
2y2 + y2 = 9 =>  3y2 = 9=>  y2 = 3

Suy ra y1 = 6.

Vậy y1 = 6,  y2 = 3.

Bài 8. Cho hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch. Biết rằng khi x = 3 và x = 5 thì các giá trị tương ứng của y là y1,  y2 và y1 − y2 = 4.
Hãy tìm y1,  y2​.

Lời giải:
Vì hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên 3y1 = 5y2​.
Suy ra y1 = 5/3 y2​.

Thay vào điều kiện y1 − y2 = 4
5/3 y2 − y2 = 4 =>  2/3 y2 = 4 =>  y2 = 6 

Suy ra y1 = 10.

Vậy y1 = 10,  y2 = 6.

Dạng 3: Bài toán chuyển động 

Phương pháp giải

Trong bài toán chuyển động trên cùng một quãng đường, vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Khi đó ta có:

v.t = s (không đổi)

Quy trình giải bài toán:

Bước 1: Xác định hai đại lượng tỉ lệ nghịch (vận tốc - thời gian)

Bước 2: Lập hệ thức tích không đổi

Bước 3: Thay dữ kiện để tìm đại lượng cần tìm

Bài 1. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h trong 3 giờ. Hỏi nếu vận tốc tăng lên 90 km/h thì thời gian đi hết quãng đường AB là bao nhiêu?

Lời giải:
Độ dài quãng đường AB là:

s = 60⋅3 =180 km

Vì quãng đường không đổi nên thời gian cần tìm là:

t = 180/90 = 2 giờ

Vậy thời gian cần tìm là 2 giờ.

Bài 2. Một xe đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h mất 5 giờ. Hỏi nếu vận tốc tăng lên 50 km/h thì thời gian đi hết quãng đường là bao nhiêu?

Lời giải:
Độ dài quãng đường AB là:

s = 40⋅5 = 200 km

Thời gian khi vận tốc tăng lên 50 km/h:

t = 200/50 = 4 giờ 

Vậy khi tăng vận tốc lên 50 km/h thì thời gian đi hết quãng đường AB là 4 giờ.

Bài 3. Một người đi từ A đến B với vận tốc 30 km/h trong 4 giờ. Nếu vận tốc giảm xuống còn 20 km/h thì thời gian tăng thêm bao nhiêu giờ?

Lời giải:
Độ dài quãng đường AB là:

s = 30⋅4 = 120 km

Thời gian mới:

t = 120/20 = 6 giờ

Thời gian cần tăng thêm là:

6 − 4 = 2 giờ

Bài 4. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 72 km/h mất 5 giờ. Nếu vận tốc giảm xuống còn 60 km/h thì thời gian đi hết quãng đường là bao nhiêu?

Lời giải:
Độ dài quãng đường AB là:

s = 72⋅5 = 360 km

Thời gian mới:

t = 360/60 = 6 giờ

Vậy thời gian cần tìm là 6 giờ.

Bài 5. Vận tốc xe thứ nhất bằng 60% vận tốc xe thứ hai. Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B nhiều hơn xe thứ hai 4 giờ. Tính thời gian xe thứ hai.

Lời giải:
Gọi thời gian xe thứ hai là t (giờ).
Thời gian xe thứ nhất là t + 4.

Vì vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch nên:

v1t1=v2t2​

Mà v1 = 0,6v2 nên:

0,6v2.(t+4) = v2t

Chia hai vế cho v2≠0:

0,6(t+4) = t

Suy ra:

t = 6 giờ

Vậy thời gian xe thứ hai là 6 giờ.

Dạng 4: Bài toán năng suất lao động

Phương pháp giải

Khi khối lượng công việc không đổi, số người và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch:

số người x số thời gian = a

Bài 1. 8 công nhân làm xong công việc trong 10 ngày. Hỏi 5 công nhân làm công việc đó trong bao nhiêu ngày?

Lời giải:
Ta có:

a = 8⋅10 = 80

Thời gian cần tìm là:

t = 80/5 =16 ngày

Vậy thời gian là 16 ngày.

Bài 2. 12 công nhân hoàn thành công việc trong 16 ngày. Hỏi cần bao nhiêu công nhân để hoàn thành trong 12 ngày?

Lời giải:

a = 12⋅16 = 192

Số công nhân cần để hoàn thành công việc đó trong 12 ngày là:

n = 192/12 = 16

Vậy cần 16 công nhân.

Bài 3. 6 người làm xong công việc trong 15 ngày. Nếu thêm 3 người thì thời gian hoàn thành là bao nhiêu ngày?

Lời giải:

a = 6⋅15 = 90

Số người mới 9 =>  t= 90/9 = 10 ngày

Vậy thời gian là 10 ngày.

Bài 4. Một tổ công nhân dự định hoàn thành một công việc trong 12 ngày. Sau khi làm được 4 ngày thì tổ được bổ sung thêm 3 công nhân nên công việc được hoàn thành sớm hơn dự định 2 ngày. Biết năng suất của mỗi công nhân là như nhau.

Hãy xác định số công nhân ban đầu của tổ.

Lời giải

Gọi số công nhân ban đầu là x (công nhân).

Khối lượng công việc dự định là:

A = 12x

Sau 4 ngày, khối lượng công việc đã hoàn thành là: 4x

Phần còn lại là:

A − 4x = 12x − 4x = 8x

Sau khi bổ sung 3 công nhân, số công nhân là x+3.
Do công việc hoàn thành sớm 2 ngày nên tổng thời gian làm việc thực tế là 10 ngày.

Vì tổ công nhân đã làm việc 4 ngày, thời gian làm tiếp là 6 ngày.

Khối lượng công việc phần còn lại là: 6(x + 3)

Do đó:

8x = 6(x+3)

Suy ra: x = 9

Vậy số công nhân ban đầu là 9 công nhân.

Bài 5. Ba đội công nhân cùng làm ba công việc có khối lượng như nhau.
Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 7 ngày và đội thứ ba trong 9 ngày. Biết rằng đội thứ nhất có nhiều hơn đội thứ hai 3 công nhân và năng suất mỗi công nhân là như nhau. Hãy xác định số công nhân của đội thứ nhất.

Lời giải

Gọi số công nhân của ba đội lần lượt là x,  y,  z (công nhân).

Vì khối lượng công việc của ba đội là như nhau và năng suất mỗi công nhân như nhau nên số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Do đó ta có:

4x = 7y = 9z

Theo giả thiết, đội thứ nhất nhiều hơn đội thứ hai 3 công nhân nên:

x − y = 3

Từ 4x = 7y suy ra:

x/7 = y/4 ​

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

x/7 = y/4 = (x−y)/(7−4)

Mà x−y = 3 nên:

x/7 = y/4 = 3/3 = 1

Suy ra:

x = 7,y = 4 

Vậy đội thứ nhất có 7 công nhân.

Dạng 5: Chia một số thành các phần tỉ lệ nghịch

Phương pháp giải

Khi chia một số M thành các phần x,y,z,… tỉ lệ nghịch với các số a,b,c,…, ta có:

ax = by = cz =…

Hay tương đương:

x/(1/a) = y/(1/b) = z/(1/c) 

Như vậy, ta chuyển bài toán chia tỉ lệ nghịch thành chia tỉ lệ thuận với các số nghịch đảo 1/a,1/b,1/c sau đó áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm các phần.

Bài 1. Chia số 60 thành hai phần tỉ lệ nghịch với 2 và 3.

Lời giải:
Vì hai phần tỉ lệ nghịch với 2 và 3 nên:

2x = 3y

Suy ra:

x/(1/2) = y/(1/3) 

Do đó hai phần tỉ lệ thuận với 3 và 2.
Tổng tỉ số là 3+2=5

x = 3/5⋅60 = 36

y = 2/5 ⋅60 = 24 

Vậy hai phần là 36 và 24.

Bài 2. Chia số 84 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 3; 4; 6.

Lời giải:
Ba phần tỉ lệ thuận với 1/3,1/4,1/6 tương ứng với 4;3;2.
Tổng tỉ số là 4+3+2 = 9.

x = 4/9⋅84 = 24

y = 3/9⋅84 = 18

z = 2/9⋅84 = 12

Vậy ba phần là 24; 18; 12.

Bài 3. Chia số 120 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 2; 3; 5.

Lời giải:
Các phần tỉ lệ thuận với 1/2,1/3,1/5 =>  15;10;6.
Tổng tỉ số: 31.

x = 15/31⋅120

y=10/31⋅120

z=6/31⋅120

Suy ra:

x ≈ 58,06, y ≈ 38,71, z ≈ 23,23

Bài 4. Chia số 180 thành ba phần x, y, z tỉ lệ nghịch với các số 2; 3; 6. Biết rằng hiệu giữa phần thứ nhất và phần thứ ba bằng 60. Hãy tìm ba phần đó.

Lời giải

Vì x, y, z tỉ lệ nghịch với 2; 3; 6 nên:

2x = 3y = 6z

Suy ra:

x/(1/2) = y/(1/3) = z/(1/6)

Do đó x, y, z tỉ lệ thuận với:

1/2 : 1/3 : 1/6

Quy đồng ta được tỉ lệ:

3 : 2 : 1

Đặt:

x = 3k ; y = 2k ; z = k

Theo giả thiết: x − z = 60

=>  3k − k = 60
=>  2k = 60
=>  k = 30

Suy ra:

x = 90; y = 60; z = 30

Kiểm tra tổng:

x + y + z = 90 + 60 + 30 = 180 (thỏa mãn)

Vậy ba phần cần tìm là:

x = 90, y = 60, z = 30.

Bài 5. Chia số 180 thành ba phần x, y, z tỉ lệ nghịch với các số 2; 3; 6. Biết rằng tổng của phần thứ nhất và phần thứ ba bằng 120. Hãy tìm ba phần đó.

Lời giải

Vì x, y, z tỉ lệ nghịch với 2; 3; 6 nên:

2x = 3y = 6z

Suy ra:

x/(1/2) = y/(1/3) = z/(1/6)

Do đó x, y, z tỉ lệ thuận với:

1/2 : 1/3 : 1/6

Quy đồng ta được tỉ lệ:

3 : 2 : 1

Đặt:

x = 3k
y = 2k
z = k

Theo giả thiết:

x + z = 120

=>  3k + k = 120
=>  4k = 120
=>  k = 30

Suy ra:

x = 90
y = 60
z = 30

Kiểm tra:

x + y + z = 90 + 60 + 30 = 180 (thỏa mãn)

Đại lượng tỉ lệ nghịch là phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 7, giúp học sinh  vận dụng linh hoạt vào nhiều dạng bài toán khác nhau. Nắm vững lý thuyết và giải thành thạo các dạng Toán về kiến thức này, học sinh sẽ có nền tảng vững vàng để học tốt môn Toán lớp 7 nói riêng và các lớp sau nói chung. Hệ thống giáo dục Học là Giỏi hy vọng bài viết này đã đem đến những thông tin hữu ích cho quý phụ huynh và các em học sinh về đại lượng tỉ lệ nghịch và các dạng toán thường gặp!