Phân số tối giản là gì? Làm thế nào để rút gọn phân số?

Phân số tối giản là gì?

Phân số tối giản là phân số đã ở dạng đơn giản nhất và không thể rút gọn thêm, khi tử số và mẫu số không có ước chung nào ngoài 1 (hoặc −1 nếu xét số âm). Nói cách khác, cả tử và mẫu số của phân số tối giản là hai số nguyên tố. 

Một phân số là phân số tối giản khi: ƯCLN(∣a∣,∣b∣) = 1

Ví dụ:

5/7 là phân số tối giản

12/18 không phải là phân số tối giản vì còn ước chung là 6.

Cách rút gọn phân số về phân số tối giản

Sau khi đã hiểu phân số tối giản là gì, ta cần tìm hiểu cách rút gọn phân số để đưa phân số về dạng tối giản. Rút gọn phân số là việc đưa phân số về dạng đơn giản nhất nhưng vẫn giữ nguyên giá trị. Mục tiêu của việc rút gọn phân số là loại bỏ các ước chung giữa tử số và mẫu số để thu được phân số tinh gọn nhất.

Phương pháp 1: Sử dụng ước chung lớn nhất

Đây là phương pháp nhanh và chính xác nhất khi rút gọn phân số. 

Cách làm:

- Xác định ước chung lớn nhất của tử số và mẫu số.

- Chia đồng thời tử và mẫu cho ƯCLN vừa tìm được.

Phương pháp 2: Chia dần theo dấu hiệu chia hết

Trong trường hợp khó xác định ngay ước chung lớn nhất, có thể rút gọn phân số từng bước bằng cách kiểm tra các dấu hiệu chia hết.

Cách làm:

- Xét xem tử và mẫu có cùng chia hết cho 2, 3, 5, 9… hay không.

- Nếu có, chia cả tử và mẫu cho số đó.

- Tiếp tục thực hiện chia cho các số mà cả tử và mẫu đều cùng chia hết cho đến khi phân số không thể rút gọn thêm.

Mẹo rút gọn biểu thức dạng phân số

Đối với biểu thức phân số chứa tích hoặc biến, nên phân tích tử và mẫu thành các thừa số trước khi rút gọn. Sau đó, loại bỏ các thừa số chung để đưa biểu thức về dạng đơn giản hơn.

Các dạng bài tập rút gọn phân số tối giản thường gặp

Trong các bài Toán, phân số thường xuất hiện dưới nhiều dạng khác nhau. Nhưng để giải bài Toán nhanh gọn và chính xác nhất, ta cần đưa phân số về dạng tối giản. Dưới đây là một số dạng bài rút gọn phân số về dạng tối giản thường gặp, giúp học sinh rèn kĩ năng rút gọn phân số hiệu quả:

Dạng nhận biết và rút gọn phân số đơn giản

Đây là dạng rút gọn phân số cơ bản nhất, rèn luyện cho học sinh kĩ năng xác định phân số đã tối giản hay chưa và thực hiện rút gọn bằng cách tìm ước chung của tử và mẫu. Thông thường, bài toán yêu cầu kiểm tra dấu hiệu chia hết hoặc tìm ƯCLN để đưa phân số về dạng đơn giản nhất.

Dạng rút gọn phân số có quy luật

Đây là dạng  bài rút gọn phân số phức tạp hơn. Phân số thường xuất hiện dưới dạng số có quy luật, chẳng hạn các số lặp lại hoặc cấu trúc đặc biệt. 

Để rút gọn phân số đối với dạng bài này, học sinh cần nhận diện được quy luật hình thành số, sau đó phân tích phân số thành các tích hoặc biểu diễn lại phân số dưới dạng có thừa số chung. Dạng bài này không chỉ yêu cầu kỹ năng rút gọn mà còn đòi hỏi khả năng quan sát và biến đổi số.

Dạng toán tìm tham số để phân số tối giản

Dạng bài tư duy thường liên quan đến phân số chứa biến, ví dụ tìm giá trị của n để phân số A(n)/B(n) ở dạng tối giản. Bài toán yêu cầu xác định điều kiện để tử và mẫu đều là số nguyên tố, tức không tồn tại ước chung lớn hơn 1.

Để giải dạng này, học sinh cần kết hợp kiến thức về ước số, dấu hiệu chia hết và biểu thức đại số. 

Bài tập rút gọn phân số về dạng tối giản

Sau khi đã nắm vững lý thuyết về phân số tối giản là gì, học sinh cần thường xuyên thực hành rút gọn phân số về dạng tối giản để thành thạo kĩ năng rút gọn phân số. Dưới đây là một số bài tập rút gọn phân số về dạng tối giản:

Bài 1: Rút gọn các phân số sau

a) 8/12
b) 14/21
c) 20/30
d) 9/15
e) 16/24

Đáp án
a) 2/3
b) 2/3
c) 2/3
d) 3/5
e) 2/3

Bài 2: Rút gọn các phân số sau

a) 36/54
b) 45/75
c) 84/126
d) 63/105
e) 72/96

Đáp án
a) 2/3
b) 3/5
c) 2/3
d) 3/5
e) 3/4

Bài 3: Tìm phân số bằng phân số đã cho

1. Phân số nào bằng 6/9?
A. 8/12  B. 5/12  C. 7/11  D. 10/15

2. Phân số nào bằng 8/10?
A. 16/25  B. 24/30  C. 12/15  D. 14/18

3. Phân số nào bằng 15/20?
A. 6/8  B. 9/12  C. 12/15  D. 4/5

4. Phân số nào bằng 9/12?
A. 27/36  B. 18/30  C. 12/15  D. 6/9

5. Phân số nào bằng 14/21?
A. 28/42  B. 12/18  C. 21/30  D. 10/14

Đáp án

1A  2B  3D  4A  5A

Bài 4: Trong các phân số sau, phân số nào tối giản?

a) 17/24
b) 21/28
c) 13/19
d) 22/55
e) 9/14

Đáp án
Các phân số tối giản: 17/24, 13/19, 9/14

Bài 5: Điền số phù hợp để rút gọn các phân số sau

a) 40/32 = (40 : …)/(32 : …) = …/…
b) 63/42 = (63 : …)/(42 : …) = …/…
c) 54/72 = (54 : …)/(72 : …) = …/…
d) 30/18 = (30 : …)/(18 : …) = …/…
e) 81/108 = (81 : …)/(108 : …) = …/…

Đáp án
a) 8

b) 21

c) 18

d) 6

e) 27

Bài 6: Rút gọn các phân số sau

a) -24/36
b) -18/-27
c) 42/-56
d) -75/125
e) 90/-150

Đáp án
a) -2/3
b) 2/3
c) -3/4
d) -3/5
e) -3/5

Bài 7: Rút gọn các phân số sau

a) (6×5)/(5×9)
b) (4×7×8)/(7×8×10)
c) (9×12)/(12×15)
d) (3×6×11)/(6×11×14)
e) (2×5×9×10)/(5×9×10×13)

Đáp án
a) 2/3
b) 2/5
c) 3/5
d) 1/14
e) 2/13

Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau

a) (12×6 + 12×4)/(8×9 + 8×3)
b) (7×18 − 7×6)/(5×24 − 5×6)
c) (15×8 + 15×2)/(10×12 + 10×4)
d) (9×14 − 9×7)/(6×21 − 6×7)
e) (5×11 + 5×9)/(4×13 + 4×7)

Đáp án
a) 3/4
b) 1/3
c) 1
d) 1/2
e) 1/2

Bài 9: Rút gọn các phân số sau

a) 1212/1414
b) 252525/303030
c) 6363/7272
d) 8484/9696
e) 7777/8888

Đáp án
a) 6/7
b) 5/6
c) 7/8
d) 7/8
e) 7/8

Bài 10: Tính nhanh

a) (5×6×7×8)/(6×7×8×9)
b) (4×9×10)/(9×10×11)
c) (3×8×12)/(8×12×13)
d) (2×7×15×16)/(7×15×16×17)
e) (6×11×12)/(11×12×13)

Đáp án
a) 5/9
b) 4/11
c) 3/13
d) 2/17
e) 6/13

Bài 11: Tìm số/phân số thỏa mãn các điều kiện sau

a) Tìm n nhỏ nhất để 5/(n+6) tối giản
b) Tìm n nhỏ nhất để 8/(n+10) tối giản
c) Tìm phân số bằng 36/90 có tổng tử và mẫu 39
d) Tìm phân số có tổng tử mẫu 170 và tối giản 3/7
e) Tìm số tự nhiên chia 21/28 được 3/4

Đáp án
a) n = 0
b) n = 1
c) 13/26
d) 51/119
e) 7

Phân số tối giản là dạng biểu diễn chuẩn của một phân số, giúp đảm bảo tính tinh gọn, chính xác và thuận lợi trong quá trình tính toán. Việc nắm vững khái niệm phân số tối giản là gì và các phương pháp rút gọn phân số cũng chính là một trong những điều cần thiết để nâng cao khả năng xử lý các dạng toán liên quan đến phân số. Hệ thống giáo dục Học là Giỏi hy vọng bài viết này đã đem đến thông tin hữu ích cho quý phụ huynh và các em học sinh về phân số tối giản và bài tập rút gọn phân số để học tốt môn Toán!