Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức

Chinh phục kiến thức về phương trình bậc nhất hai ẩn

schedule.svg

Thứ sáu, 8/11/2024 08:03 AM

Tác giả: Admin Hoclagioi

Phương trình bậc nhất hai ẩn bổ trợ rất nhiều trong nhiều bài toán đại số, cho phép khám phá mối quan hệ giữa các cặp giá trị của x và y. Cùng gia sư online Học là Giỏi tìm hiểu khái niệm này và xem xét những đặc điểm của phương trình bậc nhất hai ẩn nhé!

Mục lục [Ẩn]

Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn với các biến x và y là một dạng biểu thức toán học có cấu trúc như sau: ax+by=c, trong đó a, b, và c là các hằng số đã biết, với điều kiện a ≠ 0 hoặc b ≠ 0.

Khi một cặp số (x0,y0) được thay vào phương trình và làm cho giá trị ở vế trái bằng với vế phải, thì cặp số đó được coi là một nghiệm của phương trình.

Lưu ý: 

+ Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm (x0,y0) của phương trình ax+by=c được biểu diễn bằng một điểm có tọa độ (x0,y0) trên mặt phẳng đó.

+ Chúng ta cũng có thể áp dụng các quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân từ phương trình bậc nhất một ẩn để biến đổi phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ: 2x+y=12, x−y=2,...

Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax+by=c luôn có vô số nghiệm. Tập hợp các nghiệm của phương trình này được biểu diễn bằng một đường thẳng d có dạng ax+by=c.

+ Trường hợp a≠0 và b=0: Khi đó, phương trình có nghiệm {x=ca, y∈R}, nghĩa là y có thể là bất kỳ giá trị nào trong tập số thực R. Đường thẳng d sẽ song song hoặc trùng với trục tung.

Trường hợp a≠0 và b=0

Trường hợp a=0 và b≠0: Trong trường hợp này, nghiệm của phương trình là {x∈R, y=cb}, tức là x có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào. Đường thẳng d sẽ song song hoặc trùng với trục hoành.

Trường hợp a=0 và b≠0

Trường hợp a≠0 và b≠0: Khi cả hai hằng số a và b đều khác 0, phương trình có nghiệm dưới dạng {x∈R, y=abx+cb}. Trong trường hợp này, đường thẳng d là đồ thị của hàm số y=ab x+cb.

Trường hợp a≠0 và b≠0

Bài tập phương trình bậc nhất hai ẩn

Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Viết phương trình bậc nhất hai ẩn có hai nghiệm là (2,0) và (−1,−2)

Vì các nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn nằm trên một đường thẳng, nên ta đặt đường thẳng đó có dạng d: y=ax+b.

Thay giá trị (x,y)=(2,0) vào phương trình đường thẳng d, ta được:
0 = 2a+b(1)

Thay giá trị (x,y)=(−1,−2) vào phương trình đường thẳng d, ta có:
−2 = −a+b(2)

Từ phương trình (2), ta suy ra:
b=2+ab = -2 + a, thay vào (1) ta được:
2a+(2+a)=02a + (-2 + a) = 0
3a2=0\Rightarrow 3a - 2 = 0
3a=2\Rightarrow 3a = 2
a=23\Rightarrow a = \frac{2}{3}

Thế giá trị của a vào (2):
b=2+23=43b = -2 + \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}

Vậy phương trình đường thẳng d là y=23x43y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}​.

Để đưa về dạng phương trình bậc nhất hai ẩn, ta nhân cả hai vế với 3, được: 3y=2x−4
2x3y4=0\Rightarrow 2x - 3y - 4 = 0

Vậy phương trình bậc nhất hai ẩn cần tìm là 2x−3y−4=0.

Bài 2:  Tìm công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2x−3y=5

Xét phương trình 2x−3y=5, ta có:

a=20a = 2 \neq 0

b=30b = -3 \neq 0

Vì a và b đều khác 0, nên phương trình này có nghiệm tổng quát với dạng:

{xR,  y=abx+cb}\{ x \in \mathbb{R}, \; y = -\frac{a}{b} x + \frac{c}{b} \}

Thay các giá trị a=2, b=−3, và c=5 vào, ta có:

{xR,  y=23x53}\{ x \in \mathbb{R}, \; y = \frac{2}{3}x - \frac{5}{3} \}

Để biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng y=23x53y = \frac{2}{3}x - \frac{5}{3}​.

Khi x=0x = 0, ta có y=53y = -\frac{5}{3}​, tương ứng với điểm A(0;53)A(0; -\frac{5}{3}).

Khi y=0y = 0, ta có x=52x = \frac{5}{2}, tương ứng với điểm B(52;0)B(\frac{5}{2}; 0).

Vậy tập nghiệm của phương trình 2x−3y=5 được biểu diễn bằng đường thẳng qua hai điểm A(0;53)A(0; -\frac{5}{3}) và B(52;0)B(\frac{5}{2}; 0) trên mặt phẳng tọa độ.

phương trình 2x−3y=5

Bài tập nâng cao

Bài 3: Cho đường thẳng d có phương trình: (m−2)x+(3m−1)y=6m−2.

Tìm giá trị m sao cho:

a) d song song hoặc trùng với trục hoành

b) d song song hoặc trùng với trục tung

c) d đi qua điểm A(1,−1)A(1, -1)A(1,−1)

Giải

a) Để đường thẳng d song song hoặc trùng với trục hoành, ta cần:

a=0  và  b0

Thay vào phương trình:

m2=0  và  3m10

<=>m=2  và m13

Vậy m=2 thì d sẽ song song với trục hoành.

b) Để d song song hoặc trùng với trục tung, ta cần:

a0  và  b=0

Từ đây, ta có:

m20  và  3m1=0

<=>m2  và  m=13

Vậy m=13m = \frac{1}{3} thì d sẽ song song với trục tung.

c) Để đường thẳng d đi qua điểm A(1,−1), ta thay x=1 và y=−1 vào phương trình của d:

(m2)1+(3m1)(1)=6m2(m - 2) \cdot 1 + (3m - 1) \cdot (-1) = 6m - 2

Giải phương trình:

m23m+1=6m2m - 2 - 3m + 1 = 6m - 2

 2m1=6m2-2m - 1 = 6m - 2

 8m=1-8m = -1

 m=18m = \frac{1}{8}

Vậy m=18m = \frac{1}{8}​ thì d sẽ đi qua điểm A(1,1)A(1, -1).

Bài tập tự luyện

Bài 3: Tìm giá trị của m để phương trình bậc nhất hai ẩn m+1x2y=m+1\sqrt{m + 1} \, x - 2y = m + 1 có một nghiệm là (1;−1).

Bài 4: Cho hai nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn là (2;3) và (4;6). Tìm phương trình bậc nhất hai ẩn đó.

Bài 5: Viết công thức tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của các phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) 3x−y=5

b) 2x+0y=6

c) 0x+3y=9.

Kết luận

Nhờ phương trình bậc nhất hai ẩn, những cặp giá trị của x và y hiện lên thành các điểm cụ thể, tạo nên một đường thẳng biểu diễn vô số nghiệm mà phương trình đã cho. Qua các bài tập và ví dụ, chúng ta nắm được cách thiết lập phương trình và hiểu sâu hơn về các điều kiện để đường thẳng song song hay trùng với trục tọa độ. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng rằng qua những kiến thức này, bạn sẽ tự tin hơn mỗi khi đối mặt với các bài toán nâng cao hơn trong tương lai.

 

Chủ đề:

Đăng ký học thử ngay hôm nay

Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!

Đăng ký học thử ngay hôm nay

Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!

Lớp con đang học
Môn học quan tâm

Bài viết liên quan

Nắm trọn kiến thức về tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau
schedule

Thứ năm, 14/11/2024 04:43 AM

Nắm trọn kiến thức về tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau

Trong hình học, tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau mang lại sự cân bằng về độ dài và góc độ trong việc giải toán. Tính chất này giúp đơn giản hóa các bài toán phức tạp, hỗ trợ giải quyết hiệu quả từ những bài cơ bản cho đến nâng cao. Cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá các tính chất đặc trưng của dạng toán này nhé.

Khám phá vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
schedule

Thứ tư, 13/11/2024 08:06 AM

Khám phá vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn là khái niệm quan trọng trong hình học, đóng vai trò nền tảng trong việc giải quyết các bài toán lớp 9. Trong bài viết này, gia sư online Học là Giỏi sẽ cùng khám phá ba trường hợp cơ bản về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn nhé.

Nắm trọn kiến thức đường kính và dây của đường tròn
schedule

Thứ tư, 13/11/2024 03:08 AM

Nắm trọn kiến thức đường kính và dây của đường tròn

Trong hình học, đường kính và dây cung của đường tròn là những khái niệm cơ bản mà chúng ta sẽ được học trong chương trình lớp 9. Vậy đường kính và dây cung có vai trò gì đặc biệt trong hình tròn, và tại sao chúng lại có sức ảnh hưởng đến thế? Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá sâu hơn để tìm hiểu!

Tổng quát các kiến thức cơ bản về đường tròn
schedule

Thứ ba, 12/11/2024 08:34 AM

Tổng quát các kiến thức cơ bản về đường tròn

Đường tròn là 1 khái niệm căn bản trong chương trình học lớp 9 về hình học, đây là loại hình mà bạn sẽ thường xuyên gặp phải trong các bài tập hình. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi tìm hiểu tất cả những kiến thức cơ bản về đường tròn nhé.

Giải mã dạng phương trình quy về phương trình bậc hai
schedule

Thứ ba, 12/11/2024 03:21 AM

Giải mã dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Dạng phương trình quy về phương trình bậc hai sẽ biến những dạng phức tạp hơn như phương trình trùng phương, phương trình chứa căn thức, phương trình tích, hay chứa ẩn ở mẫu thành dạng bậc hai. Trong bài viết này, gia sư online Học là Giỏi sẽ khám phá từng loại phương trình bằng phương pháp quy về phương trình bậc hai nhé.

Khám phá phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
schedule

Thứ năm, 7/11/2024 08:04 AM

Khám phá phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình là một trong các phương pháp toán học cốt lõi giúp chúng ta giải quyết các bài tập phức tạp và rắc rối. Đây là kiến thức cần thiết phải được ghi nhớ để phục vụ cho các kì thi quan trọng. Vậy hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá cách giải hệ phương trình trong mọi bài toán nhé!

message.svg zalo.png