Chinh phục kiến thức về phương trình bậc nhất hai ẩn

Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn với các biến x và y là một dạng biểu thức toán học có cấu trúc như sau: ax+by=c, trong đó a, b, và c là các hằng số đã biết, với điều kiện a ≠ 0 hoặc b ≠ 0.

Khi một cặp số ($x_0$,$y_0$) được thay vào phương trình và làm cho giá trị ở vế trái bằng với vế phải, thì cặp số đó được coi là một nghiệm của phương trình.

Lưu ý: 

+ Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm ($x_0$,$y_0$) của phương trình ax+by=c được biểu diễn bằng một điểm có tọa độ ($x_0$,$y_0$) trên mặt phẳng đó.

+ Chúng ta cũng có thể áp dụng các quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân từ phương trình bậc nhất một ẩn để biến đổi phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ: 2x+y=12, x−y=2,...

Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax+by=c luôn có vô số nghiệm. Tập hợp các nghiệm của phương trình này được biểu diễn bằng một đường thẳng d có dạng ax+by=c.

+ Trường hợp a≠0 và b=0: Khi đó, phương trình có nghiệm {x=$\frac{c}{a}$, y∈R}, nghĩa là y có thể là bất kỳ giá trị nào trong tập số thực R. Đường thẳng d sẽ song song hoặc trùng với trục tung.

Trường hợp a=0 và b≠0: Trong trường hợp này, nghiệm của phương trình là {x∈R, y=$\frac{c}{b}$}, tức là x có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào. Đường thẳng d sẽ song song hoặc trùng với trục hoành.

Trường hợp a≠0 và b≠0: Khi cả hai hằng số a và b đều khác 0, phương trình có nghiệm dưới dạng {x∈R, y=$\frac{-a}{b}$x+$\frac{c}{b}$}. Trong trường hợp này, đường thẳng d là đồ thị của hàm số y=$\frac{-a}{b}$ x+$\frac{c}{b}$.

Bài tập phương trình bậc nhất hai ẩn

Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Viết phương trình bậc nhất hai ẩn có hai nghiệm là (2,0) và (−1,−2)

Vì các nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn nằm trên một đường thẳng, nên ta đặt đường thẳng đó có dạng d: y=ax+b.

Thay giá trị (x,y)=(2,0) vào phương trình đường thẳng d, ta được:
0 = 2a+b(1)

Thay giá trị (x,y)=(−1,−2) vào phương trình đường thẳng d, ta có:
−2 = −a+b(2)

Từ phương trình (2), ta suy ra:
$b = -2 + a$, thay vào (1) ta được:
$2a + (-2 + a) = 0$
$\Rightarrow 3a - 2 = 0$
$\Rightarrow 3a = 2$
$\Rightarrow a = \frac{2}{3}$

Thế giá trị của a vào (2):
$b = -2 + \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}$

Vậy phương trình đường thẳng d là $y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$​.

Để đưa về dạng phương trình bậc nhất hai ẩn, ta nhân cả hai vế với 3, được: 3y=2x−4
$\Rightarrow 2x - 3y - 4 = 0$

Vậy phương trình bậc nhất hai ẩn cần tìm là 2x−3y−4=0.

Bài 2:  Tìm công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2x−3y=5

Xét phương trình 2x−3y=5, ta có:

$a = 2 \neq 0$

$b = -3 \neq 0$

Vì a và b đều khác 0, nên phương trình này có nghiệm tổng quát với dạng:

$\{ x \in \mathbb{R}, \; y = -\frac{a}{b} x + \frac{c}{b} \}$

Thay các giá trị a=2, b=−3, và c=5 vào, ta có:

$\{ x \in \mathbb{R}, \; y = \frac{2}{3}x - \frac{5}{3} \}$

Để biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng $y = \frac{2}{3}x - \frac{5}{3}$​.

Khi $x = 0$, ta có $y = -\frac{5}{3}$​, tương ứng với điểm $A(0; -\frac{5}{3})$.

Khi $y = 0$, ta có $x = \frac{5}{2}$, tương ứng với điểm $B(\frac{5}{2}; 0)$.

Vậy tập nghiệm của phương trình 2x−3y=5 được biểu diễn bằng đường thẳng qua hai điểm $A(0; -\frac{5}{3})$ và $B(\frac{5}{2}; 0)$ trên mặt phẳng tọa độ.

Bài tập nâng cao

Bài 3: Cho đường thẳng d có phương trình: (m−2)x+(3m−1)y=6m−2.

Tìm giá trị m sao cho:

a) d song song hoặc trùng với trục hoành

b) d song song hoặc trùng với trục tung

c) d đi qua điểm A(1,−1)A(1, -1)A(1,−1)

Giải

a) Để đường thẳng d song song hoặc trùng với trục hoành, ta cần:

$a=0 và b\ne 0$

Thay vào phương trình:

$m-2=0 và 3m-1\ne 0$

<=>$m=2 và m\ne \frac{1}{3}$

Vậy m=2 thì d sẽ song song với trục hoành.

b) Để d song song hoặc trùng với trục tung, ta cần:

$a\ne 0 và b=0$

Từ đây, ta có:

$m-2\ne 0 và 3m-1=0$

<=>$m\ne 2 và m=\frac{1}{3}$

Vậy $m = \frac{1}{3}$ thì d sẽ song song với trục tung.

c) Để đường thẳng d đi qua điểm A(1,−1), ta thay x=1 và y=−1 vào phương trình của d:

$(m - 2) \cdot 1 + (3m - 1) \cdot (-1) = 6m - 2$

Giải phương trình:

$m - 2 - 3m + 1 = 6m - 2$

 $-2m - 1 = 6m - 2$

 $-8m = -1$

 $m = \frac{1}{8}$

Vậy $m = \frac{1}{8}$​ thì d sẽ đi qua điểm $A(1, -1)$.

Bài tập tự luyện

Bài 3: Tìm giá trị của m để phương trình bậc nhất hai ẩn $\sqrt{m + 1} \, x - 2y = m + 1$ có một nghiệm là (1;−1).

Bài 4: Cho hai nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn là (2;3) và (4;6). Tìm phương trình bậc nhất hai ẩn đó.

Bài 5: Viết công thức tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của các phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) 3x−y=5

b) 2x+0y=6

c) 0x+3y=9.

Kết luận

Nhờ phương trình bậc nhất hai ẩn, những cặp giá trị của x và y hiện lên thành các điểm cụ thể, tạo nên một đường thẳng biểu diễn vô số nghiệm mà phương trình đã cho. Qua các bài tập và ví dụ, chúng ta nắm được cách thiết lập phương trình và hiểu sâu hơn về các điều kiện để đường thẳng song song hay trùng với trục tọa độ. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng rằng qua những kiến thức này, bạn sẽ tự tin hơn mỗi khi đối mặt với các bài toán nâng cao hơn trong tương lai.